g(A,B2…,B+B,…,Bn)=g(A,B2,…,B,…,Bn)+g(A1,B2,…,B…Bn) g(A,B2,…,kB,…,Bn)=kg(A,B2,…,B,…,Bn) 则称g为Mn(K)上的一个列线性函数。 同样地,行(列)线性函数的定义还可以写作 ∈ at al ∫ka+la|= 8(B1,B2…,kB+lB,…,Bn)=kg(B,B2,…,B1…,Bn)+lg(B1,B2,…,B,…,Bn) 容易证明它们与上面定义的等价性。 定义反对称线性函数 记号如上,若列线性函数f满足 则称f为列反对称函数 定理设∫:Mn(K)→K为列线性函数,则下述四条等价: i)、∫反对称 1)、f( =0 iv)、若M不满秩,则f(M)=0。 证明i)→i)若∫反对称,则 a,)=-f(a 于是f(ax1 i)→iⅲ)若∫(a12…,a,…,a,…,an)=0,由于∫列线性,则 f(a1;…,a1+kan…;a1…an)=f(a,…,…,a1…an)+(an,…an2…;a1…an) f(a 若f( ),则由已知 不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为ax,a2…,an, 则必存在一个a,满足a=∑ka,,其中k∈K,于是1 2 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n n g g g              + = + ； 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n g k kg         = ， 则称 g 为 ( ) M K n 上的一个列线性函数。 同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作   k l K , ，有 1 i n f k l             +         = 1 i n kf                    + 1 n lf                    和 1 2 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) j n j n n g k l kg lg              + = + 。 容易证明它们与上面定义的等价性。 定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数 f 满足 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j n j i n f f         = − ， 则称 f 为列反对称函数。 定理 设 : ( ) n f M K K → 为列线性函数，则下述四条等价： i）、 f 反对称； ii）、 1 ( , , , , , , ) 0 n f     = ； iii）、 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j j n i j n f k f          + = ； iv）、若 M 不满秩，则 f M( ) 0 = 。 证明 i）  ii） 若 f 反对称，则 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) n n f f         = − ， 于是 1 ( , , , , , , ) 0 n f     = 。 ii）  iii） 若 1 ( , , , , , , ) 0 n f     = ，由于 f 列线性，则 1 1 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , , , ). i j j n i j n j j n i j n f k f kf f                  + = + = iii）  iv） 若 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j n i j n f k f         = ，则由已知， 不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。若记 M 的列向量为 1 2 , , ,   n， 则必存在一个 i ，满足 1 n i j j j j i  k =  =  ，其中 j k K  ，于是