第七讲解析函数的局域性展开(续) 第七讲解析函数的局域性展开(续) 71解析函数的 Laurent展开 一个函数除了可在解析点作 Taylor展开外,有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数.这 时就得到 Laurent展开 定理7.1( Laurent)设函数f(2)在以b为圆心的环 形区域R1≤|z-b≤R2上单值解析,则对于环域内的任何z R? 点,f(z)可以用幂级数展开为 f(2)=∑an(2-b),R1<|z-b<R2, 其中 C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线(见图71) 图7.1 Laurent展开 证将环域的内外边界分别记为C1和C2,则根据复连通区域的 cauchy积分公式,有 f(a) 对于C2上的积分,可以直接利用以前的结果 ∑1 n (2-b)",2-b< R2, f() b 对于C1上的积分 f() ∑(2-b)zi f() an(a-b)",| 2-b>R1 其中 f(Sds (-bWu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 1 ✎ ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜ (✢) §7.1 ✣✤✥✦✧ Laurent ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ Taylor ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀✱❁✴❂❃✶✷❄❅❆✭❇❈ ✻❉❊❋ Laurent ✶✷❇ ●❍ 7.1 (Laurent) ■✬✭ f(z) ✱❏ b ❑ ▲▼◆❖ P◗❘ R1 ≤ |z − b| ≤ R2 ❙❚❯✲✳✹ ❱❲❳❖ ❘ ❨◆❩❬ z ✴✹ f(z) ✰❏❭❅❆✭✶✷❑ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , R1 < |z − b| < R2, ❪ ❫ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ, C ❴❖❘ ❨❵ ❨▲✪❛◆❩❜✪❝❞❡ ❢❣ (❤✐ 7.1) ❇ ❥ 7.1 Laurent ❦❧ ♠ ✿ ❖ ❘ ◆ ❨ ✸♥♦♣qr❑ C1 s C2 ✹ ❱t✉✈✇①◗❘◆ Cauchy ②♣③④✹✺ f(z) = 1 2π i I C2 f(ζ) ζ − z dζ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ. ❲❳ C2 ❙◆②♣✹✰❏⑤⑥⑦❭❏⑧◆⑨⑩✹ 1 2π i I C2 f(ζ) ζ − z dζ = X∞ n=0 an(z − b) n , |z − b| < R2, an = 1 2π i I C2 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ. ❲❳ C1 ❙◆②♣ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C1 f(ζ) (z − b) − (ζ − b) dζ = 1 2π i I C1 f(ζ) z − b X∞ k=0  ζ − b z − b k dζ = X∞ k=0 (z − b) −k−1 · 1 2π i I C1 f(ζ)(ζ − b) kdζ. ❶ −k − 1 = n, k = −(n + 1) ✹ ❱ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ = X−∞ n=−1 (z − b) n · 1 2π i I C1 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ = X−∞ n=−1 an(z − b) n , |z − b| > R1, ❪ ❫ an = 1 2π i I C1 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ