矩阵A满足它自己的特征方程。即若设阶矩阵A的特征多项式为 f)=[I-A]=”+an-入m++a1+a (8-4) 则有 f(A)=A"+aA"+...+aA+aol=0 (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论1矩阵A的k(k2)次幂，可表为A的(m1)阶多项式 -2a4 (k≥) (8-46 推论2矩阵指数e“可表为A的(m-l)阶多项式，即 e-. (8-47 且各&()作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱一哈密顿定理，矩阵A满足它自己的特征方程，即在式(846)中用A的特征 值1=1,2，…，k)替代A后，等式仍能满足 e"=2a,以 (8-48) 0 利用上式和k个入，就可以确定待定系数α，)。 若，互不相等，则根据式(848)，可写出各a,)所构成的n元一次方程组为 e=a+&,入+a22+…+an-1" e=a+a,2+a2号+…+an-1 (849) e=a+an+a222+…+an-10- 求解式(8-49)，可求得系数0，a,,a-1,它们都是时间1的函数，将其代入式(8-47) 后即可得出e“。 329 329 矩阵 A 满足它自己的特征方程。即若设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 1 1 1 0 ( ) [ ] n n n f I A a a a −      = − = + + + + − (8-44) 则有 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − − f A A a A a A a I n n n  (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论 1 矩阵 A 的 k (k  n) 次幂，可表为 A 的（n-1）阶多项式 m n m m k A  A − = = 1 0  (k  n) (8-46) 推论 2 矩阵指数 At e 可表为 A 的（n-1）阶多项式，即 At e m n m m (t)A 1 0  − = =  (8-47) 且各 ( ) m  t 作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱－哈密顿定理，矩阵 A 满足它自己的特征方程，即在式（8-46）中用 A 的特征 值 ( 1,2, , ) i  i k = 替代 A 后，等式仍能满足 1 0 ( ) i k t j j i j e t    − = = （8-48） 利用上式和 k 个 i 就可以确定待定系数 ( ) j  t 。 若 i 互不相等，则根据式（8-48），可写出各 ( ) j  t 所构成的 n 元一次方程组为 1 2 2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 n t n n t n n t n n n n n e e e                         − − − − − − = + + + +   = + + + +     = + + + +  （8-49） 求解式（8-49），可求得系数  0 ,1 ,…,k−1 ，它们都是时间 t 的函数，将其代入式（8-47） 后即可得出 e At