零点存在定理 定理3.4.3若函数∫(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)·f(b)<0,则 定存在ξ∈(a,b),使∫(2)=0。 证不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0,定义集合V V=(x|f(x)<0,x∈[ab]} 集合V有界,非空,所以必有上确界。令 S=sup v, 现证ξ∈(a,b),且f()=0。 由于f(x)连续,f(a)<0,>0,x∈[a,a+81:f(x)<0;再由f(b)>0, 彐62>0,x∈(b-2b:f(x)>0。于是可知 a+6≤5≤b-62 即 ∈(a,b)零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，且 fa fb () () 0 ⋅ < ，则一 定存在ξ ∈ ba ),( ，使 f () 0 ξ = 。 证 不失一般性，设 f a() 0 < ， f b() 0 > ，定义集合V： V = { x f ( ) 0, [ , ] x x ab < ∈ }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 ξ = supV ， 现证ξ ∈ ba ),( ，且 f () 0 ξ = 。 由于 f x( ) 连续，f a() 0 < ，∃ 1 δ > 0， 1 ∀x aa ∈ + [, ] δ ：f x() 0 < ；再由 f b() 0 > ， ∃ 2 δ > 0，∀ x ∈ 2 ( ,] b b −δ ： f x() 0 > 。于是可知 1 a +δ ≤ ξ ≤ 2 b −δ ， 即ξ ∈ ba ),(