得到唯一解 由于问题的最小值必定存在,因此它就是最小值点。也就是说,当水箱的底为边 长是v2a米的正方形,高为v2a/2米时,用料最省。 例2求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4x2=1相交而成的椭圆的面积 图127.1 解椭圆的面积为mb,其中a,b分别为椭圆的两个半轴,因为椭圆的中心在 原点,所以a,、b分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 于是,可以将问题表述为,求 f(x,y, ==x+y 在约束条件 x+y+2= 下的最大值与最小值。 作 Lagrange函数 L(x,y,,A,A)=x2+y2+z2-l(x+y+)-(x2+y2+4x2-1), 得到相应的方程组 L2=2(1-)x-2=0 L,=2(1-p)y-2=0, L=2(1-4)2-1=0 x+v+2=0 将方程组中的第一式乘以x,第二式乘以y,第三式乘以z后相加,再利用 x+y+z=0和x2+y2+4x2=1得到 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出,如果只有二个解1和山2,则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方! 所以问题转化为求的值。 将以上方程组中的第一式乘以1-4,第二式乘以1-4,第三式乘以1-后 相加,得到得到唯一解 2 2 ,2,2 3 3 3 a = = zayax = 。 由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边 长是3 2a 米的正方形，高为 22 3 a 米时，用料最省。 例 2 求平面 zyx =++ 0与椭球面 zyx 222 =++ 14 相交而成的椭圆的面积。 解 椭圆的面积为πab ，其中 分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在 原点，所以 分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 ,ba ,ba z O y x 图 12.7.1 于是，可以将问题表述为，求 222 ),,( ++= zyxzyxf 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 14 ,0 222 zyx zyx 下的最大值与最小值。 作 Lagrange 函数 ),,,,( )14()( 222 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−++−++= ， 得到相应的方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =−−= =−−= =−−= .014 ,0 ,0)41(2 ,0)1(2 ,0)1(2 222 zyx zyx L z L y L x z y x λμ λμ λμ 将方程组中的第一式乘以 x ，第二式乘以 ，第三式乘以 后相加，再利用 和 得到 y z zyx =++ 0 14 222 zyx =++ =++= μ 222 ),,( zyxzyxf 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出μ ，如果只有二个解 μ1和μ 2，则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方！ 所以问题转化为求μ 的值。 将以上方程组中的第一式乘以 − 41 μ ，第二式乘以 − 41 μ ，第三式乘以1− μ 后 相加，得到 5