1993年量子力学考研试题 一.设|n)是粒子数算符N=aa的本征函数,相应之本征值为 n0),算符a和a满足对易关系aa-a=1证明:an)(其中n≥1) 和an也是N的本征函数其相应的本征值分别为(n-)和(m+1)。 解:用粒子数算符N作用到an)上,即 Nan=a)=aa'-1a n=aa an-an= GNn)-an)=(n-1)an 上式表明an)是N的本征态,相应的本征值为(n-1)。 同样,用粒子数算符N作用到a|n)上,即 Na n)=a aa n)=a laa+I)n)=a a'an)+a n) aNn)-a)=(n+1)a n 上式表明an)也是N的本征态,相应的本征值为(n+1)。 (类似2000年第二题)质量为m的粒子在一维势阱 x<0 (x)={-V 0<x<a 中运动(>0),若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=l 的状 态,试确定此势阱的宽度a 解:对于E=-0<0的情况,三个区域中的波函数分别为1993 年量子力学考研试题 一 .设 n 是粒子数算符 N a ˆ a ˆ ˆ + = 的本征函数，相应之本征值为 n( 0) ，算符 + a ˆ 和 a ˆ 满足对易关系 ˆ ˆ − ˆˆ = 1 + + a a aa 。证明： a ˆ n （其中 n 1 ） 和 a n + ˆ 也是 N ˆ 的本征函数其相应的本征值分别为 (n −1) 和 (n +1)。 解：用粒子数算符 N ˆ 作用到 a ˆ n 上，即 ( ) aN n a n (n )a n Na n a aa n aa a n aa a n a n ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ − = − = = − = − = + + + 上式表明 a ˆ n 是 N ˆ 的本征态，相应的本征值为 (n −1)。 同样，用粒子数算符 N ˆ 作用到 a n + ˆ 上，即 ( ) a N n a n (n )a n Na n a aa n a a a n a a a n a n + + + + + + + + + + + − = + = = + = + = ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 上式表明 a n + ˆ 也是 N ˆ 的本征态，相应的本征值为 (n +1)。 二. （类似 2000 年第二题）质量为 m 的粒子在一维势阱 ( )       −     = x a V x a x V x 0, , 0 . 0 0 中运动 ( 0) V0  ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量 2 V0 E = − 的状 态，试确定此势阱的宽度 a。 解：对于 0 2 0 = −  V E 的情况，三个区域中的波函数分别为