20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件ox,y)=0下,z=f(x,y)的极值 令F=f(x,y)+入pk,y)称f(x,y)为目标函数为拉格朗日常数 F=0 Fy=0解得的(,y)为可能的极值点 F=0 例1、求曲面4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=1的最短距离 解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离d=+y=4z- ∴设F=(x+y-42-1)2+x13x2-2xy+3y2-42) F 1+(6y (x+y-4z-1)-4x=0 F2 16 驻点唯 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n={6x-2y6y-2x-4} 平面x+y-4z=1的法矢量n1=4,1,-4} 当五∥n1时,即 6x-2y6y-2 4 4 得:x=y= 在(4416)点处切平面平行已知平面 ∴点门11 416 )到平面距离最短,dm2 0 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件 (x , y) = 0 下, z = f(x , y) 的极值 令 F = f(x , y)+ (x , y) 称 f(x , y) 为目标函数, 为拉格朗日常数       =  =  =  F 0 F 0 F 0 y x 解得的 (x , y) 为可能的极值点 例 1、求曲面 2 2 4z = 3x − 2xy + 3y 到平面 x + y − 4z = 1 的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 18 x y 4z 1 d + − − = ∴ 设 (x y 4z 1) (3x 2xy 3y 4z) 2 1 F 2 2 2 = + − − +  − + − ( ) ( ) ( )          = − + − = = − + − − −  = = + − − +  − = = + − − +  − = F 3x 2xy 3y 4z 0 F 4 x y 4z 1 4 0 F x y 4z 1 6y 2x 0 F x y 4z 1 6x 2y 0 2 2 z y x ∵ 驻点唯一 ∴ 8 2 d min = 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 n = 6x − 2y,6y − 2x,−4  平面 x+y-4z=1 的法矢量 n1 = 1,1,−4  当 n  ∥ 1 n  时，即 4 4 1 6y 2x 1 6x 2y − − = − = − 得： 4 1 x = y = , 16 1 z = ∵ 在 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 点处切平面平行已知平面 ∴ 点 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 到平面距离最短， 8 2 d min = 得： 16 1 z 4 1 x y = = =