Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 根据引理1,[1-“d=0.又因为Res[-e lime 据 lemma2, d=i·(-2i)·( 因此r1=er dx==2n.所以l2=Re dx=-2丌= 副产品:∫ In 2x dx=2 Iml=o 其实 X= 7l L=0=2 Example 5. I 5r ('in dr [F]: sin 3x=sin xcos 2x+cos xsin 2x= sin x(1-2sin x)+2sin x(1-sin x) 3x-3: 3 因为m-32-=5m3x-=3Smx,但是由于z=0是(c)=-3-的三阶极 点(一般来说,如果积分路线上有被积函数的高阶极点,则此积分是发散的),需 要重新构造F()为使二=0成为单阶极点,只要改取F(-)= 即可 此时仍有ImF(x)= sin 3x-3sin x 取积分闭曲线如上图所示, 取两个极限R→。→0,前两项即为 dx.因为 二→)∞(Im=≥0)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 19 根据引理 1， d 0 1 2 2 = − CR i z z z e . 又因为 2 2 2 2 0 0 1 1 Res lim 2 i z i z z z e e z i z z → =   − − =  = −     ， 据 lemma 2，    d ( 2 ) ( ) 2 1 2 2 =  −  − = − −  z i i z e C i z . 因此 d 2 1 2 2 = = −   − x I x e i x . 所以 2 2 2 1 1 1 Re d 2 4 4 2 i x e I x x    − − = =  =  . 副产品： 2 sin 2 d 2Im 0. x x I x + − = =  其实 2 2 0 1 2 d | 2 . i x z e i z I x i x z    = − − − = = =  (X) Example 5. 3 3 0 sin d . x I x x    =      [解] 2 2 sin3 sin cos2 cos sin 2 sin (1 2sin ) 2sin (1 sin ), x x x x x x x x x = + = − + − 3 1 sin ( sin 3 3sin ). 4  = − + x x x 3 3 3 3 3 1 sin 1 1 1 sin 3 3sin d d d . 2 2 2 8 ix ix x e e x x I x x x x x i x −    − − −     − − = = = −            因为 3 3 3 3 sin 3 3sin Im x x x x e e i x ix − = − , 但是由于 z = 0 是 3 3 3 ( ) z e e f z i z iz − = 的三阶极 点(一般来说，如果积分路线上有被积函数的高阶极点，则此积分是发散的)，需 要重新构造 F z( ). 为使 z = 0 成为单阶极点，只要改取 3 3 3 2 ( ) z e e F z i z iz − + = 即可， 此时仍有 3 sin 3 3sin Im ( ) . x x F x x − = 取积分闭曲线如上图所示， 3 3 3 3 3 2 3 2 0 d d . R i z iz i z iz R C R C C e e e e z z z z    − − − + − +   = = + + +          取两个极限 R → , → 0 ，前两项即为   − − + x x e e i x ix d 3 2 3 3 . 因为 0 3 2 (Im 0), 3 3  − + →    z e e z z z i z iz