第5章一阶语言的结构和真值理论 第1节一阶语言的结构 1.(c)的本意是把p(x)中的变元x用d来取代,非正式的写法为φ(d)。但严格讲这 样写没有意义,因为d不是我们语言中的符号。因此我们只有采用赋值的方法把变 元x赋值为d。有的教科书把它简记成φd。当我们概念清楚之后,例如在后面可 定义性的部分也会采用这种简记。 2.定义52是一阶逻辑真值理论的核心。它是由逻辑学家塔尔斯基1933年给出的。 3.对初学者来说首先要搞清楚我们是用什么在定义什么,或者说它是否是循环定义 答案是我们是用数学(元语言中)的知识来定义(对象语言中)一阶语句的真假。 例如,固定域的语言L={+,,0,1}。考察一阶语句g:a(x·x1+1)就φ本身 而言,它只是一个字符串,到现在为止尚不具有任何意义。只有当我们固定好L的 个结构以时,我们才能决定φ的真假。就φ而言,它在有理数域Q中为真,而 在实数域R中为假。至于为什么它在有理数域Q为真,则是我们的数学中背景知识 告诉我们的。因此我们是用数学中关于的知识来定义一个形式语句(或说一阶公 式)φ在中的真假,即a}φ 4.从上面的讨论我们可以看出用数学语言在这一点上比用自然语言要清晰。自然语言 中常用的例子为“雪是白的为真当且仅当雪是白的。 定义53.令r为一个公式集并且φ为一个公式。我们称I语义蕴涵φ,2记作r}φ,如 果对每一个结构和每个赋值函数s:V→|都有一旦和s满足r中的所有成员,则 和s也满足φp 定义5.3是本课程中最重要的概念之一。语义蕴涵的目标是严格定义“必然地得出” 这一概念。前面的语法蕴涵概念尽管非常精确,但人们多少会怀疑它是否过于依赖形式系 统的选取。而语义蕴涵则没有这一缺陷。因此一个“好的”推演系统从假设集I能“推” 出的命題应该不多不少恰恰是r语义蕴涵的那些命题,这就是我们后面要讲的所谓可靠 性和完全性。 我们在命题逻辑中曾用符号}表示过重言蕴涵,但从现在起,除非特别声明,符 号}只表示语义蕴涵。我们仍然沿用过去的一些约定,比如,我们用?卡φ来表示 {}φ;我们说两个公式φ和v是语义等价的3如果φv并且v卡φ。一个公式φ 被称为普遍有效的如果0卡φ,记作φ。4注意:公式φ是普遍有效的当且仅当对所有 的结构和所有的赋值s:V→|,和s都满足φ(为什么?)。因此普遍有效的公式 在一阶逻辑中与重言式在命题逻辑中的地位类似。 2语义蕴涵,英文为 logically imply,也被译为逻辑蕴涵,或说φ是r的语义后承 3语义等价,英文为 logically equivalent,也被译为逻辑等价。 4普遍有效的,英文为 valide。通常直译为“有效的”。第 5 章 一阶语言的结构和真值理论 第 1 节 一阶语言的结构 1. （c）的本意是把 φ(x) 中的变元 x 用 d 来取代，非正式的写法为 φ(d)。但严格讲这 样写没有意义，因为 d 不是我们语言中的符号。因此我们只有采用赋值的方法把变 元 x 赋值为 d。有的教科书把它简记成 φ[d]。当我们概念清楚之后，例如在后面可 定义性的部分也会采用这种简记。 2. 定义 5.2 是一阶逻辑真值理论的核心。它是由逻辑学家塔尔斯基 1933 年给出的。 3. 对初学者来说首先要搞清楚我们是用什么在定义什么，或者说它是否是循环定义。 答案是我们是用数学（元语言中）的知识来定义（对象语言中）一阶语句的真假。 例如，固定域的语言 L = {+, ·, 0, 1}。考察一阶语句 φ: ∀x(x · x ̸≈ 1 + 1)。就 φ 本身 而言，它只是一个字符串，到现在为止尚不具有任何意义。只有当我们固定好 L 的 一个结构 A 时，我们才能决定 φ 的真假。就 φ 而言，它在有理数域 Q 中为真，而 在实数域 R 中为假。至于为什么它在有理数域 Q 为真，则是我们的数学中背景知识 告诉我们的。因此我们是用数学中关于 A 的知识来定义一个形式语句（或说一阶公 式）φ 在 A 中的真假，即 A |= φ。 4. 从上面的讨论我们可以看出用数学语言在这一点上比用自然语言要清晰。自然语言 中常用的例子为 ‘雪是白的’ 为真当且仅当雪是白的。 定义 5.3. 令 Γ 为一个公式集并且 φ 为一个公式。我们称 Γ 语义蕴涵 φ，2 记作 Γ |= φ，如 果对每一个结构 A 和每个赋值函数 s : V →| A | 都有一旦 A 和 s 满足 Γ 中的所有成员，则 A 和 s 也满足 φ。 定义 5.3 是本课程中最重要的概念之一。语义蕴涵的目标是严格定义“必然地得出” 这一概念。前面的语法蕴涵概念尽管非常精确，但人们多少会怀疑它是否过于依赖形式系 统的选取。而语义蕴涵则没有这一缺陷。因此一个“好的”推演系统从假设集 Γ 能“推” 出的命题应该不多不少恰恰是 Γ 语义蕴涵的那些命题，这就是我们后面要讲的所谓可靠 性和完全性。 我们在命题逻辑中曾用符号 |= 表示过重言蕴涵，但从现在起，除非特别声明，符 号 |= 只表示语义蕴涵。我们仍然沿用过去的一些约定，比如，我们用 γ |= φ 来表示 {γ} |= φ；我们说两个公式 φ 和 ψ 是语义等价的 3 如果 φ |= ψ 并且 ψ |= φ。一个公式 φ 被称为普遍有效的 如果 ∅ |= φ，记作 |= φ。4 注意：公式 φ 是普遍有效的当且仅当对所有 的结构 A 和所有的赋值 s : V →| A |，A 和 s 都满足 φ （为什么？）。因此普遍有效的公式 在一阶逻辑中与重言式在命题逻辑中的地位类似。 2语义蕴涵，英文为 logically imply，也被译为逻辑蕴涵，或说 φ 是 Γ 的语义后承。 3语义等价，英文为 logically equivalent，也被译为逻辑等价。 4普遍有效的，英文为 valid。通常直译为“有效的”。 3