复旦大学暑期教学课程介绍 课程代码MECH130110学分数2周学时20总学时40 课程名称 流形上的微积分 英文名称 Calculus on Differential Manifolds 任课教师 谢锡麟 职称正高级讲师所在院系 航空航天系(原力学 与工程科学系 预修课程 微积分基础(相当于一年制的《数学分析》或《高等数学》) 课程性质: 请根据教学培养方案上的课程性质在以下4个栏目中选择。 通识教育课程 文理基础课程 专业必修课程 专业选修课程 注:对理论与应用力学、飞行器设计与工程专业学生可作为专业选修课,其他专业同学应可作为任意选修 修读对象 所有对微积分进一步理论及应用有兴趣的同学;本课程也将为有志趣于进一步研习现代几何学、非线 性动力系统、连续介质力学等现代数理知识知识体系,铺垫坚实的基础。按任课教师认识,本课程涉及的 内容十分有益于自然科学、技术科学、数据类以及经管类等诸多专业的深入学习与研究。 课程简介: 本课程致力于将高维 Euclid空间中的微积分(高维微积分)推广至微分流形上的微积分。高维微积 分一般涉及高维曲线、三维体积、三维空间中二维曲面上的积分,就此我需要一般性地获得m维 Euclid 空间中r维曲面上的积分。另一方面,高维微积分涉及的体积、曲线、曲面都仅仅涉及一个曲线/参数坐 标(坐标卡),然而我们所需实际处理的几何体往往需要多个坐标卡才能确定几何体的位置并赋予坐标 就此需要引入微分流形的概念。 本课程按照多个坐标卡以实现局部 Euclid化的观点引入距离空间中的微分流形。基于多重线性函数 的观点引入流场上的张量场,并基于外积运算研究张量的表示及其代数性质。基于映照观点建立流形上的 微分学,并将相关微分运算联系与连续介质场论。基于外积运算建立流形上的积分学,体现高维微积分中 第一类、第二类积分的自然推广;并基于外微分运算获得微分流形上的 Stokes公式。作为理论联系实际 的重要方面,本课程特别涉及微分流形在常微分与偏微分方程、经典力学与理论物理中的相关应用,意图 为研习 V I. Arnold等的相关著述提供充实的基础。 参照VI. Zorich等著在全球范围享有盛誉的数学分析教程,我们需要基于 Euclid空间上的微积分(我 国现行一年级微积分教学的广度与深度)主要做二方面拓展:(一)赋范线性空间上的微分学;(二)流形 上的微积分。本课程致力于第二部分的延拓,可以独立于第一部分进行。复旦大学暑期教学课程介绍 课程代码 MECH130110 学分数 2 周学时 20 总学时 40 课程名称 流形上的微积分 英文名称 Calculus on Differential Manifolds 任课教师 谢锡麟 职称 正高级讲师 所在院系 航空航天系（原力学 与工程科学系） 预修课程 微积分基础（相当于一年制的《数学分析》或《高等数学》） 课程性质： 请根据教学培养方案上的课程性质在以下 4 个栏目中选择。 通识教育课程 □ 文理基础课程 □ 专业必修课程 □ 专业选修课程  注：对理论与应用力学、飞行器设计与工程专业学生可作为专业选修课，其他专业同学应可作为任意选修 课。 修读对象： 所有对微积分进一步理论及应用有兴趣的同学；本课程也将为有志趣于进一步研习现代几何学、非线 性动力系统、连续介质力学等现代数理知识知识体系，铺垫坚实的基础。按任课教师认识，本课程涉及的 内容十分有益于自然科学、技术科学、数据类以及经管类等诸多专业的深入学习与研究。 课程简介： 本课程致力于将高维 Euclid 空间中的微积分（高维微积分）推广至微分流形上的微积分。高维微积 分一般涉及高维曲线、三维体积、三维空间中二维曲面上的积分，就此我需要一般性地获得 m 维 Euclid 空间中 r 维曲面上的积分。另一方面，高维微积分涉及的体积、曲线、曲面都仅仅涉及一个曲线/参数坐 标（坐标卡），然而我们所需实际处理的几何体往往需要多个坐标卡才能确定几何体的位置并赋予坐标， 就此需要引入微分流形的概念。 本课程按照多个坐标卡以实现局部 Euclid 化的观点引入距离空间中的微分流形。基于多重线性函数 的观点引入流场上的张量场，并基于外积运算研究张量的表示及其代数性质。基于映照观点建立流形上的 微分学，并将相关微分运算联系与连续介质场论。基于外积运算建立流形上的积分学，体现高维微积分中 第一类、第二类积分的自然推广；并基于外微分运算获得微分流形上的 Stokes 公式。作为理论联系实际 的重要方面，本课程特别涉及微分流形在常微分与偏微分方程、经典力学与理论物理中的相关应用，意图 为研习 V.I.Arnold 等的相关著述提供充实的基础。 参照 V.I.Zorich 等著在全球范围享有盛誉的数学分析教程，我们需要基于 Euclid 空间上的微积分（我 国现行一年级微积分教学的广度与深度）主要做二方面拓展：（一）赋范线性空间上的微分学；（二）流形 上的微积分。本课程致力于第二部分的延拓，可以独立于第一部分进行