(6)假定∑}(a→B)。证明∑}(→a)→(→B)。 (7)证明或否证(以给反例的方式)下列断言 (a)如果∑a或∑B,则∑(avB) (b)如果∑}(aVB),则∑a或∑B (8)找出所有{A1,A2,…,An}上的分别满足下列公式的真值指派: (a)a=(A1→A2)∧(42→A3)∧…∧(An-1 )? (b)B=(a∧(An→A1) (c)y=∧{(A1→(A):1≤i,j≤n并且i≠j}? 注意:(c)中γ的写法不标准,但应该不妨碍对题意的理解。] (9)证明一个真值指派v满足公式 (..(41+A2)分A3)…+An) 当且仅当在1≤i≤n中对偶数多个i,v(A1)=F。 (10)固定一个公式序列a1,a2,…。在每个公式φ,对所有的n将命题符号An都替换 成an,并把所得到的公式记作φ*。例如,当φ为(A2VA1)→A2)时,g*就是 aVan)→a2) (a)令υ为一个真值指派。定义真值指派u为u(An)=可(an)。证明(y)=可(φ*)。 (b)证明如果φ是重言式,则φ*也是。 习题2.3 (1)给出一个程序完成如下的断句任务:输入任何表达式a,该程序能够判定α是否是 个合式公式,并且在是的情况下输出a的一个生成序列。[自然地,我们不要求大 家真的去写计算机程序(能写更好),我们所要的是一个算法,即一系列简单而清晰 的指令,告诉我们先做什么后做什么等等。] (2)在定义??中将所有的右括号都省略掉。例如,原来的(A∧(B)V(C→D)就变 成了(A∧(-B∨(C→D。证明省略后仍有唯一可读性。(6) 假定 Σ |= (α → β)。证明 Σ |= ((γ → α) → (γ → β))。 (7) 证明或否证（以给反例的方式）下列断言: (a) 如果 Σ |= α 或 Σ |= β, 则 Σ |= (α ∨ β); (b) 如果 Σ |= (α ∨ β), 则 Σ |= α 或 Σ |= β。 (8) 找出所有 {A1, A2, . . . , An} 上的分别满足下列公式的真值指派： (a) α = ((A1 → A2) ∧ (A2 → A3) ∧ · · · ∧ (An−1 → An))? (b) β = (α ∧ (An → A1))? (c) γ = ∧ {(Ai → (¬Aj )) : 1 ≤ i, j ≤ n 并且 i ̸= j}? [注意: (c) 中 γ 的写法不标准，但应该不妨碍对题意的理解。] (9) 证明一个真值指派 v 满足公式 ((. . .(A1 ↔ A2) ↔ A3)· · · ↔ An) 当且仅当在 1 ≤ i ≤ n 中对偶数多个 i，v(Ai) = F。 (10) 固定一个公式序列 α1, α2, · · · 。在每个公式 φ ，对所有的 n 将命题符号 An 都替换 成 αn，并把所得到的公式记作 φ ∗。例如，当 φ 为 ((A2 ∨ A1) → A2) 时，φ ∗ 就是 ((α2 ∨ α1) → α2)。 (a) 令 v 为一个真值指派。定义真值指派 u 为 u(An) = v(αn)。证明 u(φ) = v(φ ∗ )。 (b) 证明如果 φ 是重言式，则 φ ∗ 也是。 习题 2.3. (1) 给出一个程序完成如下的断句任务：输入任何表达式 α，该程序能够判定 α 是否是 一个合式公式，并且在是的情况下输出 α 的一个生成序列。[自然地，我们不要求大 家真的去写计算机程序（能写更好），我们所要的是一个算法，即一系列简单而清晰 的指令，告诉我们先做什么后做什么等等。] (2) 在定义 ?? 中将所有的右括号都省略掉。例如，原来的 ((A ∧ (¬B)) ∨ (C → D)) 就变 成了 ((A ∧ (¬B ∨ (C → D。证明省略后仍有唯一可读性。 3