1.14线性化 在小信号条件下,非线性系统可以线性化。例1.3中单摆的运动方程在初始角较小的 情况下,可被线性化。设0=0+△0,单摆运动方程如下: mL(6+△6)+BL(0+△6)+wsin(。+△)=0 当△0(《∞时,有sin△0≈0,cosΔ0≈1,又因为0o较小,有sin0o≈Δ0,那么有线 性方程 mL△e+BLA+W△6=0 当Δθ很小时,线性方程(12)的解与(1.1)一致。 1.2传递函数 线性时不变系统的传递函数定义为零初始条件下输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉 普拉斯变换像函数之比。尽管传递函数只能用于线性系统,但它比微分方程提供更为直观的 信息。令传递函数的分母多项式等于零,便得到特征方程。特征方程的根是系统的极点,分 子多项式的根是系统的零点。那么传递函数便可由常数项与系统的零、极点确定。常数项, 通常记作k,是系统的增益。利用传递函数,我们可以方便的研究系统参数的改变对响应的 影响。通过拉普拉斯反变换可得到系统在时域的响应。通常需要用有理函数的部分分式展开 在这部分举几个例子介绍 MATLLAB中求特征多项式的根,求传递函数的零、极点, 部分分式展开以及已知零、极点求传递函数等函数的功能 121多项式的根和特征多项式 如果P是包含多项式系数的行向量,roos(P)得到一个列向量,其元素为多项式的根。 如果r是包含多项式根的一个行例列向量,poly(r)得到一个行向量,其元素为多项式的系数 例14求多项式 s6+9s5+3125s4+6125s3+67.752+1475+15的根 多项式系数以降幂次序排列在一行向量中。用 roots求根。 >>P=[19312561.2567.7514.7515 >>r=roots(P) 多项式的根从列向量r中得到 -40000 -3.0000 1.0000+2.00001 -0.0000+500001 -0.0000-5.0000i 例1.5多项式的根为-1,-2,-3±14。求多项式方程6 1.1.4 线性化 在小信号条件下，非线性系统可以线性化。例１.３中单摆的运动方程在初始角较小的 情况下，可被线性化。设θ=θ+Δθ，单摆运动方程如下： mL(0  )  BL(0  )  Wsin(0  )  0     (1.1) 当Δθ〈〈∞时，有 sinΔθ≈0,cosΔθ≈1,又因为θ0较小，有 sinθ0≈Δθ，那么有线 性方程 mL   BL  W   0   (1.2) 当Δθ很小时，线性方程（1.2）的解与（1.1）一致。 1.2 传递函数 线性时不变系统的传递函数定义为零初始条件下输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉 普拉斯变换像函数之比。尽管传递函数只能用于线性系统，但它比微分方程提供更为直观的 信息。令传递函数的分母多项式等于零，便得到特征方程。特征方程的根是系统的极点，分 子多项式的根是系统的零点。那么传递函数便可由常数项与系统的零、极点确定。常数项， 通常记作 k，是系统的增益。利用传递函数，我们可以方便的研究系统参数的改变对响应的 影响。通过拉普拉斯反变换可得到系统在时域的响应。通常需要用有理函数的部分分式展开。 在这部分举几个例子介绍 MATLLAB 中求特征多项式的根，求传递函数的零、极点， 部分分式展开以及已知零、极点求传递函数等函数的功能。 1.2.1 多项式的根和特征多项式 如果 P 是包含多项式系数的行向量，roots(P)得到一个列向量，其元素为多项式的根。 如果 r 是包含多项式根的一个行/列向量，poly(r)得到一个行向量，其元素为多项式的系数。 例 1.4 求多项式 s 6+9s 5+31.25s 4+61.25s 3+67.75s 2+14.75s+15 的根。 多项式系数以降幂次序排列在一行向量中。用 roots 求根。 >>P=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15]; >>r=roots(P) 多项式的根从列向量 r 中得到 r = -4.0000 -3.0000 -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -0.0000 + 5.0000i -0.0000 - 5.0000i 例 1.5 多项式的根为-1,-2,-3±j4。求多项式方程