附录B数值计算中的误差 数值方法的特点之一就是所求得的解是近似解，总是存在一定的误差.因此，误差分析是数值 分析中一个很重要的课题. 误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科学计算中的一个十分重要的概念 误差大致可分为以下儿种类型： ·模型误差：数学棋型是对实际问题的数学描述，它往往是抓住问题的主要因素而略去次要因 素，因此，它是实际问题的一个近似 ·观测误差：在数学模型中通常包含一些参量（数据），这些参量的值一般都是通过测量或实验 的方法所得到的，因此也存在误差。 ·截海误差：也称方法误差，在对数学模型进行数值求解时，需要做一些近似，如对导数离散时 可用差商代替 ·舍人误差：由于机器字长有限，由于机器字长有限，计算机对浮点数的表示和算术运算都存在 一定的误差 在数值分析中，我们总是假定数学模型和所给的数据都是准确的，因而不考虑模型误差和观 测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响 例1近似计算厂。山的值 解.这里我们采用Taylor展开，即 -(-++） =1-+员××+量× 1 S+R4 其中S:为前四项的部分和，R:为剩余部分.如果我们以S:作为定积分的近似值，则R就是由 此产生的误差，这种误差就称为截断误差。 在计算S4的值，假定我们保留小数点后4位有效数字，则 111 54=1-3+0-2≈1-0.33+0.1000-0.0238=0.7429 这就是我们最后得到的近似值.这里，在计算S4时所产生的误差就是舍入误差， 0 B.1误差与有效数字 309 仅供课堂教学使用，请勿外传 附录 B 数值计算中的误差 数值方法的特点之一就是所求得的解是近似解, 总是存在一定的误差. 因此, 误差分析是数值 分析中一个很重要的课题. 误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度, 是科学计算中的一个十分重要的概念. 误差大致可分为以下几种类型: • 模型误差: 数学模型是对实际问题的数学描述, 它往往是抓住问题的主要因素而略去次要因 素, 因此, 它是实际问题的一个近似. • 观测误差: 在数学模型中通常包含一些参量 (数据), 这些参量的值一般都是通过测量或实验 的方法所得到的, 因此也存在误差. • 截断误差: 也称方法误差, 在对数学模型进行数值求解时, 需要做一些近似, 如对导数离散时 可用差商代替. • 舍入误差: 由于机器字长有限, 由于机器字长有限, 计算机对浮点数的表示和算术运算都存在 一定的误差. 在数值分析中, 我们总是假定数学模型和所给的数据都是准确的, 因而不考虑模型误差和观 测误差, 主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响. 例 B.1 近似计算 ˆ 1 0 e −x 2 dx 的值. 解. 这里我们采用 Taylor 展开, 即 ˆ 1 0 e −x 2 dx = ˆ 1 0  x − x 2 + x 4 2! − x 6 3! + x 8 4! − · · ·  = 1 − 1 3 + 1 2! × 1 5 − 1 3! × 1 7 + 1 4! × 1 9 − · · · ≜ S4 + R4 其中 S4 为前四项的部分和, R4 为剩余部分. 如果我们以 S4 作为定积分的近似值, 则 R4 就是由 此产生的误差, 这种误差就称为截断误差. 在计算 S4 的值, 假定我们保留小数点后 4 位有效数字, 则 S4 = 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 ≈ 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238 = 0.7429 这就是我们最后得到的近似值. 这里, 在计算 S4 时所产生的误差就是舍入误差. □ B.1 误差与有效数字 309