·972· 工程科学学报，第41卷，第8期 7SE C 础.博弈论是研究相互依存的理性参与者之间复杂 刀EE=P=WP (11) 的相互作用的一种形式化框架，对多个参与者的互 式中，刀座表示基于频谱效率的能量效率，)s表示频 动研究具有明显的优势.所有参与者的最佳策略组 谱效率(spectrum efficiency,SE). 合起来就构成一个均衡).特别地，如果没有一个 (9)区域能量效率 参与者可以通过改变自己的策略而不降低其他参与 在超密集网络中，由于各个小区的吞吐量非常 者的效用来增加其效用，那么该博弈的解就是纳什 巨大，传统的能量效率不能很好地表征系统性能，所 均衡[3].博弈论最大的特点是能够为相应的博弈 以引入区域能量效率(AEE)作为度量超密集网络 过程找到纳什均衡点，有时纳什均衡点也正是这些 性能的一个重要指标】.将区域能量效率定义为 问题的最优策略解，这样，博弈论就可以指导和分析 区域频谱效率每瓦特，就是单位面积内、单位频谱下 众多算法设计，并且易于找到最优策略.博弈论可 每焦耳能量所能提供的用户吞吐量总和3]，即把区 用于解决无线通信网络中的许多协议设计问题，诸 域能量效率定义为区域频谱效率与能耗之比 如资源分配、功率控制、用户关联、协作中继通信和 TASE C 波束形成等，从而为确保最优化资源、成本和性能的 7AE=P=W,S·P (12) 折中提供了明确的理论指导[39o] 式中，门AE表示区域能量效率，ηAs表示区域频谱效 3.3最优化理论 率(area spectrum efficiency,ASE).C为系统容量， 最优化理论最早可以追溯到十八世纪欧拉和拉 可以由香农公式求得，W代表系统使用的总带宽， 格朗日等对相关力学的极值问题的分析和研究.最 区域覆盖面积用S表示，系统总能耗记为P. 优化理论经过两个世纪的发展，目前已经积累了大 3提高超密集网络能效的理论模型 量的研究成果.特别是凸优化理论[]的系统化研 究，更是为最优化问题的对偶性、最优性等基本性质 在对网络能量效率优化的过程中，经常使用的 的研究提供了一定的理论基础，得到了多种推广，并 理论模型包括：随机几何、博弈论、最优化理论和分 可成功应用于无线通信网络的分析与优化中 数阶规划 目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题 3.1随机几何 的三要素[2].最优化问题可以分为两类：一类是求 最近几年，基于随机几何3]的理论分析工具越 函数的极值：另一类是求泛函（函数的自变量是函 来越多地被运用到无线网络建模当中，并且取得了 数)的极值.求函数极值的数值方法或试验最优化 不错的效果.使用随机几何的原因如下：(1)随机几 方法称为数学规划，包括线性规划和非线性规划. 何可以方便地分析SINR:(2)干扰依赖于路径损耗 数学规划所处理的问题一般是静态问题，因此求函 和衰减特性，而路径损耗和衰减又是网络几何的函 数极值问题又被称为静态最优化问题.静态问题的 数；(3)在超密集网络中，基站和用户出现的不确定 数学模型是代数方程，通过选择系统的最优参数使 性非常大，对于每个基站和用户而言，不可能知道或 目标函数取极值.求泛函的极值问题需要应用变分 预测所有节点的空间位置和信道.随机几何是一种 法、最大值原理或动态规划来处理，所处理的问题一 在数学上十分易处理的理论分析工具[35-6]，使用这 般是动态问题，这一类问题就称为动态最优化问题， 种方法可以得到干扰、覆盖概率和系统容量的解析 其数学模型是微分方程或差分方程.动态最优化问 解，为超密集网络的参数优化及算法设计提供理论 题的目标函数的自变量中含有动态系统的状态变 上的指导.这样就可以很容易地进行理论分析与仿 量，状态变量一般是时间的函数，通过选择系统最优 真实验，提高仿真速率与效率.目前，部分随机几何 的运动轨线，使目标函数取极值.静态最优化和动 理论的研究成果已经在无线通信网络中得到了广泛 态最优化问题并无截然的界限，它们都有度量处理 应用，为超密集网络的建模、分析和设计奠定了坚实 结果优劣的目标函数、描述问题的数学模型，处理方 的理论基础，具体细节见4.1节. 法有分析算法和直接算法. 3.2博弈论 基于最优化理论的模型具体求解流程如图3所 博弈论是研究具有竞争或合作性质现象的理论 示.从图3可以看出，对超密集网络中相关模型和 和方法，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学 算法进行求解，主要按图中所示分析过程完成4个 的一个重要学科.博弈论的发展为无线通信网络中 主要步骤（稳态的存在性、稳态的唯一性、最优解与 资源的竞争与协作使用问题提供了可靠的理论基 满意解、收敛条件)即可.工程科学学报,第 41 卷,第 8 期 浊EE = 浊SE P = C WP (11) 式中,浊EE表示基于频谱效率的能量效率,浊SE表示频 谱效率(spectrum efficiency, SE). (9)区域能量效率. 在超密集网络中,由于各个小区的吞吐量非常 巨大,传统的能量效率不能很好地表征系统性能,所 以引入区域能量效率(AEE) 作为度量超密集网络 性能的一个重要指标[32] . 将区域能量效率定义为 区域频谱效率每瓦特,就是单位面积内、单位频谱下 每焦耳能量所能提供的用户吞吐量总和[33] ,即把区 域能量效率定义为区域频谱效率与能耗之比. 浊AEE = 浊ASE P = C W·S·P (12) 式中,浊AEE表示区域能量效率,浊ASE表示区域频谱效 率(area spectrum efficiency, ASE). C 为系统容量, 可以由香农公式求得,W 代表系统使用的总带宽, 区域覆盖面积用 S 表示,系统总能耗记为 P. 3 提高超密集网络能效的理论模型 在对网络能量效率优化的过程中,经常使用的 理论模型包括:随机几何、博弈论、最优化理论和分 数阶规划. 3郾 1 随机几何 最近几年,基于随机几何[34]的理论分析工具越 来越多地被运用到无线网络建模当中,并且取得了 不错的效果. 使用随机几何的原因如下:(1)随机几 何可以方便地分析 SINR;(2)干扰依赖于路径损耗 和衰减特性,而路径损耗和衰减又是网络几何的函 数;(3)在超密集网络中,基站和用户出现的不确定 性非常大,对于每个基站和用户而言,不可能知道或 预测所有节点的空间位置和信道. 随机几何是一种 在数学上十分易处理的理论分析工具[35鄄鄄36] ,使用这 种方法可以得到干扰、覆盖概率和系统容量的解析 解,为超密集网络的参数优化及算法设计提供理论 上的指导. 这样就可以很容易地进行理论分析与仿 真实验,提高仿真速率与效率. 目前,部分随机几何 理论的研究成果已经在无线通信网络中得到了广泛 应用,为超密集网络的建模、分析和设计奠定了坚实 的理论基础,具体细节见 4郾 1 节. 3郾 2 博弈论 博弈论是研究具有竞争或合作性质现象的理论 和方法,它既是现代数学的一个新分支,也是运筹学 的一个重要学科. 博弈论的发展为无线通信网络中 资源的竞争与协作使用问题提供了可靠的理论基 础. 博弈论是研究相互依存的理性参与者之间复杂 的相互作用的一种形式化框架,对多个参与者的互 动研究具有明显的优势. 所有参与者的最佳策略组 合起来就构成一个均衡[37] . 特别地,如果没有一个 参与者可以通过改变自己的策略而不降低其他参与 者的效用来增加其效用,那么该博弈的解就是纳什 均衡[38] . 博弈论最大的特点是能够为相应的博弈 过程找到纳什均衡点,有时纳什均衡点也正是这些 问题的最优策略解,这样,博弈论就可以指导和分析 众多算法设计,并且易于找到最优策略. 博弈论可 用于解决无线通信网络中的许多协议设计问题,诸 如资源分配、功率控制、用户关联、协作中继通信和 波束形成等,从而为确保最优化资源、成本和性能的 折中提供了明确的理论指导[39鄄鄄40] . 3郾 3 最优化理论 最优化理论最早可以追溯到十八世纪欧拉和拉 格朗日等对相关力学的极值问题的分析和研究. 最 优化理论经过两个世纪的发展,目前已经积累了大 量的研究成果. 特别是凸优化理论[41] 的系统化研 究,更是为最优化问题的对偶性、最优性等基本性质 的研究提供了一定的理论基础,得到了多种推广,并 可成功应用于无线通信网络的分析与优化中. 目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题 的三要素[42] . 最优化问题可以分为两类:一类是求 函数的极值;另一类是求泛函(函数的自变量是函 数)的极值. 求函数极值的数值方法或试验最优化 方法称为数学规划,包括线性规划和非线性规划. 数学规划所处理的问题一般是静态问题,因此求函 数极值问题又被称为静态最优化问题. 静态问题的 数学模型是代数方程,通过选择系统的最优参数使 目标函数取极值. 求泛函的极值问题需要应用变分 法、最大值原理或动态规划来处理,所处理的问题一 般是动态问题,这一类问题就称为动态最优化问题, 其数学模型是微分方程或差分方程. 动态最优化问 题的目标函数的自变量中含有动态系统的状态变 量,状态变量一般是时间的函数,通过选择系统最优 的运动轨线,使目标函数取极值. 静态最优化和动 态最优化问题并无截然的界限,它们都有度量处理 结果优劣的目标函数、描述问题的数学模型,处理方 法有分析算法和直接算法. 基于最优化理论的模型具体求解流程如图 3 所 示. 从图 3 可以看出,对超密集网络中相关模型和 算法进行求解,主要按图中所示分析过程完成 4 个 主要步骤(稳态的存在性、稳态的唯一性、最优解与 满意解、收敛条件)即可. ·972·