Vol.24 张亦舜等：FS中仿射变换的确定 ·579。 H.(x) H(x,)有性质： limlim广心H.x,y)drdy= I0其他 1a<0<b,c<0<d 1 e=0.2 构造函数： gx,八，a,b,c,d,e,f)= H..(x-(a.x+b.y+e).y-(c-x+d-y+S)) e=0.5 计算积分： S...(a,b,c,d,e,f)= 0 1 [Sg.(xv.a.b.cde-fxy)dxdy= 图1H(x)函数 Fig.1 H.(x)Function H..(x-(a.x,+b.y+e),y(c-x,+d-y.+f))dxdy. S.(a,b,c,d,e,f)是连续函数并有偏导数，且0≤ 构造函数g(x,k,D=∑H.(x-(ka+0),计算如 See(ab,c,d,e,f)≤n. 下积分： 与一维点集相同，若(au,b,co,d,e,6)是所 5.-)dxdw 求点集C的FS的一个仿射变换的系数，则有： 显然，S.(化，D是k,1的连续函数并有偏导数， limlimc)n, 且0≤S.(k,0≤n.若ko,o是点集C的IFS中一个 即limlim.S.(a,b,c,d,e,f,)在(ao,bo,c,d,eo,f6)存 仿射变换的系数，根据FS理论及随机迭代算 在最大值.故当e充分小时，连续函数S.(a,b, 法，a,∈C,3a,∈C,使k·a,+l∈(a-0.5,a+0.5) C,d,e,f,)在(a,b,ca,d,eo,)的邻域内存在最大 (在此不考虑k·a,+l=a,-0.5时的特殊情况). 值.可见确定点集C的FS的仿射变换系数转化 故 1img6x-ka+w》=1, 为求解S(a,b,c,d,e,f)的极值点. 因此 limS.(ko,lo)=n, 即limS.(k,)在(k,l6)存在最大值.所以当ε充分 3 实验结果 小时，连续函数S.(k,)在(k,l6)的邻域内存在最 求S,(化，)或S(a,b,c,d,e,f)的极值点，可以 大值.可见，确定点集C的FS的仿射变换系数 利用最优化理论中的多种算法.考虑到计算机 k,1转化为求解S.(k,)的极值点 平面上点的离散化引入的误差，在众多的极值 2.2二维点集的函数 点中，只有那些使limS.(k,)使或limlim.S.(a,b, E.s0乙=0 设有定义在计算平面p,q]×[r,s]上的点集 c,d,e,f)的值接近点数的极值点才有可能是需 C={(x,y),=1,2,,n},首先由集合C构造函数： 要的解.现在用如下两个仿射变换组成的FS 1(int(x+0.5),inty+0.5)》∈C 定义的cantor集来检验本文提出的方法. 八x)= 0其他 w(x)=0.33-x 引进函数： w2(x)=0.33·x+80 H.c(x,y)=- 图2是k固定取0.33，S.(k,0随1变化的情 (6,G,>0), (a -20020406080100 -20020406080100 图2Ss(0.33,)函数和S0.33,0函数.(a)e=0.5,k=0.33:(be=10,k=0.33 Fig.2 Sos(0.33,0)function and Si(0.33,/)functionV b l . 2 4 张 亦舜等 : IF S 中仿射 变换 的确 定 一 5 7 9 - 从 。 x( , 夕)有性质 : n 1 . 1 少`百. 卿卿厂 ! f 从 · (x, 夕 dx) 勿 - 构造 函数 : 其他 a <O <b . c < O< d 从 x( 、 . 、 多 ` x( , 夕 , a , b , c , d, e , f ) = 于从 · (x 一 .a( +xt ” · 对 一 以 , 一 .c( +xt “ 二 I 功 ), 君 二 0 . 5 计算 积分 : 及 去 ( a , b , c , d, e , f ) = 工 ` 方二 。 x( 少 , a , 。 , c ,试e刀 ; 粼:粼: 7 飞大必 dx 办 二 图 1 从 (x ) 函 数 F i g . l 从仕) F u n e it o n 构造 函数 吕 (x, k, l) = 艺从 x( 一 .k( 认+l )) , 计算如 下积分 : 及(k,l , 一 摆:胁 ,kl) · xf( dx) 一 鑫摆:必 ,kl) .dx 显然 , 及(k, l)是 凡 l 的连续 函数并 有偏导数 , 且 0 ` 叹(k, 乃` n . 若 k0 , 10 是点集 C 的 IF S 中一 个 仿射变换 的系数 , 根据 IF s 理论 及随机迭代算 法 , V ia 任 C , 日aj 任 C , 使 瓶 · 么十 10 任 a(j 一 0 . 5 , aj +0 . 5) (在此不 考虑 k0 · ia 十 10 二 马一 0 . 5时 的 特殊情况 ) . 故 因此 卿摆: 从(x 一侃时10 ) 一 ’ , lim 国(k0 , 10 ) = n , 从 ` 。 x( 一 a( · ix + .b iy + e) ,只c’ ix + .d 戈叮) ) d 不 4 F . 又 : , ( a , b , c , d, e , f )是 连续 函数并有偏导数 , 且O 二 及 声 、 ( a , b , c , 试 e , f )三 n . 与一维 点集相 同 , 若 ( a 。 , b 。 , c 。 , d0 , e 。 , 石)是 所 求点集 C 的 IF S 的一 个仿射 变换的系数 , 则有 : 卿卿又 一 ( a 。 , “ 。, c 。 , d0 , e 。 , 关) 一 ” , 即卿U孵 … ( a , b , c , d, e , f , ) 在( a 。 , b 。 , c0 , d0 , e 。 , 关)存 在最大值 . 故 当 。 充分 小 时 , 连续 函数民式 a , b, c , d, e , f , ) 在 (a0 , b0 , c0 , d0 , e0 , 关)的邻域 内存在 最大 值 . 可 见确定点集 C 的 IF S 的仿射变换 系数 转化 为求解又 、 ( a , b , c , 试 e , f , ) 的 极 值点 . 即l n l茂k( , l) 在 (k0 , l0) 存在最大值 . 所 以 当 。 充分 小时 , 连续函 数凡(k , l) 在 (褐 , l0) 的邻 域 内存在最 大值 . 可 见 , 确定 点集 c 的 IF S 的仿 射变换 系数 k , l 转化为求解 及k( , l) 的极值点 . .2 2 二 维点集的函数 设 有定义在 计算平 面 叻 , 创 ` 叶 , : 〕上 的 点集 c 一 {x(, , 升) , 户 1 , 2 , … , n} , 首先 由集合 c 构造 函 数 : f( x , y ) 引进函 数 : 从 。 、 (x , ! ’ (` n `(x + o · 5 ) , ` n `份0 · 5 )) 任 C {0 其他 3 实验结果 求叹执 l ) 或又 。 ( a , b , c , 试e , f ) 的极 值点 , 可 以 利用 最优化理论 中的 多种算法 . 考虑 到计算机 平面上 点 的离 散化引人 的误差 , 在 众多 的极值 点中 , 只 有那些使 h n l 国( k , l) 使 或 h m h ll l 国汉 a , b, `一 O 乙 一 O` 一 O c , d, e , f ) 的值接近点数 的极 值点才有可 能是需 要 的 解 . 现在 用 如下 两个仿射变换组 成的 IF S 定 义 的 ca nt or 集来检验本 文提 出的方法 . ! w , x( ) 一 O · 3 3 ’ ` } w Z x( ) = 0 . 3 3 · x + 8 0 尽 犷十心 君, 犷+ 式 (凡 , ￡。 > 0 ) , 图 2 是 k 固 定取 .0 3 , 及k( , l) 随 l 变化 的情 ǎ、材à时 à(I蔺时 一 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 一 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 图 2 50 3 ( 0 · 3 3 , l) 函 数和 况 。 ( 0 · 3 3 , )I 函 数 . ( a ) : = 0 · 5 , k = 0 . 3 3 ; ( b ) : 二 1 0 , k = 0 . 3 3 F ig . 2 50 . 5 ( 0 . 3 3 , 1) fu n e t i o n a n d 昌 。 (0 . 3 3 , 乃fu n c t i o n