§20.2稳定问题 GreenE数的一般性质 第6页 G(r;r)是相应 Poisson方程的 Green函数,由G(r;r)和G(r;r)所满足的定解问 题,可以导出 V2(r;r)+k29(r;T')=k2G(r;r),r,r’∈V 9(r;r)x=0 由于这个方程右端的G(r;r)在=T点是以1/r-r1的形式发散的,所 以,(r;r)在该点一定连续(否则ⅴ2(r;η勹)会出现δ函数),这就说明G(r;r) 和G(r;r)一样,在T=y′点都是以1/T-r的形式发散的.事实上,从下 节的讨论可知,在γ=点附近,一定有 G 1 cos(kr-r'D T:T)~ 4TE0 I ●三维空间中 Green函数在点源处的行为,和一维空间中 Green函数不同 一维空间中的 Green函数是处处连续的,而它的一阶导数不连续 这是容易理解的,因为“点源”的性质并不相同,一维空间中的点源实际上是三维空间 中的面源 不难预料,二维空间中的Gren函数也应该表现出不同的行为 对于二维空间中的 Poisson方程第一边值问题,它的 Green函数G(x,v;x',y),是定解问题 2+(0x,0>-x2)50-).(x,0,(x,y)∈S G(x,y6x,y′) 的解,其中C是平面区域S的边界.容易求得 G(x,x,y/)=-1m√(x-x)2+(-)2+9(x,买x,) 其中第一项是单位点电荷在无界空间中的电势(还可以加上一个常数,取决于电势零点的 选取),在“点源”(实际上是三维空间中的线源)6(x-x)6(y-y)处是对数发散的;第 项g(x,y;x',y)是边界上的感生电荷产生的电势,在S内处处连续 2. Green函数的对称性 先考察一下前面得到的解式 lIGr'; r)p(r)dr'-Eo///(2)VG(r'; r)ly,d3" 这个结果在物理意义上有费解之处:在右端的体积分中,G(r;r)代表r处的单位 点电荷在γ'处的电势,它乘上在观测点γ'处的电荷p(r)dr',并对观测点积分, 却给出处的电势!§20.2 ­½¯KGreen¼ê„5Ÿ 1 6  G(r; r 0 )´ƒAPoisson§Green¼ê©dGˆ(r; r 0 )ÚG(r; r 0 ) ¤÷v½)¯ K§Œ±Ñ ∇ 2 gˆ(r; r 0 ) + k 2 gˆ(r; r 0 ) = k 2G(r; r 0 ), r, r 0 ∈ V, gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. duù‡§màG(r; r 0 ) 3r = r 0 :´±1/|r − r 0 | /ªuѧ¤ ±, ˆg(r; r 0 ) 3T:½ëY(ÄK∇2 gˆ(r; r 0 ) ¬Ñyδ ¼ê)§ùÒ`²Gˆ(r; r 0 ) ÚG(r; r 0 ) §3r = r 0 :Ñ´±1/|r − r 0 | /ªuÑ©¯¢þ§le !?،§3r = r 0 :NC§½k Gˆ(r; r 0 ) ∼ 1 4πε0 cos(k|r − r 0 |) |r − r0 | . • n‘m¥Green¼ê3: ?1§Ú‘m¥Green¼êØÓ© • ‘m¥Green¼ê´??ëY§ §êØëY© • ù´N´n)§Ï/: 05Ÿ¿ØƒÓ§‘m¥: ¢Sþ´n‘m ¥¡ © • ØJý§‘m¥Green¼êATLyÑØÓ1© éu‘m¥Poisson§1>Š¯K§§Green¼êG(x, y; x 0 , y0 )§´½)¯K h ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 i G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 ε0 δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ), (x, y),(x 0 , y 0 ) ∈ S, G(x, y; x 0 , y 0 ) ¯ ¯ C = 0 )§Ù¥C´²¡«S>.©N´¦§ G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 2πε0 ln p (x − x0) 2 + (y − y 0) 2 + g(x, y; x 0 , y 0 ), Ù¥1‘´ü :>Ö3Ã.m¥>³(„Œ±\þ‡~ê§ûu>³": À)§3/: 0(¢Sþ´n‘m¥‚ ) δ(x − x 0 )δ(y − y 0 )?´éêuѶ1 ‘g(x, y; x 0 , y0 ) ´>.þa)>Ö)>³§3SS??ëY© 2. Green¼êé¡5 k ec¡)ª u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 . ù‡(J3Ôn¿Âþk¤)ƒ?µ3màNÈ©¥§G(r 0 ; r)Lr?ü  :>Ö3r 0?>³§§¦þ3*ÿ:r 0?>Öρ(r 0 )dr 0§¿é*ÿ:È©§ %‰Ñr?>³œ