章定积分 f(x)dx -<M 35∈[a,b],f(5 f(x)a f(x)dx=f(s).(b 例2估计积分在的上下界 2≥-x+-2 e≥e2→e22je≥e 推论1:在积分中值定理可得较好结果: 设∫∈Cab]则存在∈(ab),满足 a f()ax=(b-a)f(s) 证明:若有∫f(xk=(b-/(a)→((-/()=0 →35∈(a,b)f()-f(a) 否则与性质三的推论二矛盾 推论2:推广的积分中值定理: 设∫∈Ra,b],g∈Ra,b],m≤f(x)≤M,g(x)在[a,b 不变号,则彐H∈[m,M],使得 f(x)g(x)x=山g(x) 如果∫∈C[a,b则存在ξ∈[a,b],使 f(x)dx=f(s)g(x)x 性质六: Riemann积分存在的必要条件 若∫∈R[a,b]→f在[a,b]中必有界。 例3:求证 lim sin"xdx=0 n→ 证明:sn"x∈C[0,],由积分中值定理,存在5∈(0,),使得 Sin d 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 M b a f x dx m b a  −   ( )   [a,b], ( )  − = b a f x dx b a f ( ) 1   f (x)dx f ( ) (b a) b a =  −   . 例 2: 估计积分        2 − + 1 1 e dx x x 的上下界。 解： 2 1 5 2 2 1 5 2   −       +   −  − + x x x x 2 2 5 1 1 2 2 1 5 2  −      − + −  −      − + −        e e e e e dx e x x x x 推论 1： 在积分中值定理可得较好结果: 设 f C[a, b],则存在  (a,b),满足 f (x)dx (b a) f () b a = − 证明：若有 ( ) = ( − ) ( )  ( ( ) − ( )) = 0   b a b a f x dx b a f a f x f a dx  (a,b), f () − f (a) = 0 , 否则与性质三的推论二矛盾。 推论 2： 推广的积分中值定理: ⚫ 设 f  R[a, b], g  R[a,b], m  f (x)  M , g(x) 在 [a,b] 不变号, 则   [m, M ], 使得   = b a b a f (x)g(x)dx  g(x)dx ⚫ 如果 f C[a, b] 则存在  [a,b],使  =  b a b a f (x)dx f () g(x)dx 性质六：Riemann 积分存在的必要条件： 若 f  R[a,b]  f 在 [a,b] 中必有界。 例 3: 求证 lim sin 0 1 0 =  → xdx n n 证明： x n sin  C[0,1] , 由积分中值定理, 存在 ) 2 (0,    ,使得 n n n Sin x dx Sin    2 2 0 = 