第5期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·621. 证明因为L“L,而系统L是完全的，即： 合，经典逻辑的所有定理只适用于已经定义的集合 若P,则L上Pa:所以，若上P或V(pa)=1 U上。 则L上Pa; 证明设U=+αU-α是一个已定义集合； 所以，系统L“也是完全的。 假设在这个已定义集合外，可以适用经典逻辑 定理9P是不可判定命题 的所有定理，根据U外不动项定理， 命题P在系统L“中是不可判定命题（证明略， 那么，有矛盾命题P(xp)P(xp)成立； 因为不动命题是不可判定命题)。 根据邓一斯各特定理（上A,上一A,那么 注记2悖论P不参与系统演算 上B),这个逻辑系统中一切命题都是定理，这是一 1)虽然系统L中出现了悖论P,但是，P是 个崩溃的系统； 未定义命题，不参与系统演算，不会导致系统L“演 所以，经典逻辑的所有定理只适用于已经定义 算崩遗，系统L“仍然是有效的。 的集合U上。 2)虽然系统L“中出现了不可判定P,但是，P 定理14“反证法”的适用范围 与系统完全性无关，系统L“仍然是完全的，系统L“ U={x,x2,x3,…,x,…}是一个已经定义集 的定理集合是可判定的。 合，“反证法”只适用于已经定义的集合U上。 定理10P(xp)是域外命题 证明因为，反证法是经典逻辑的一条定理， 命题P(xp)在系统K中是未定义命题； 即：如果A上B且A上B,那么上A; 根据定理13，“反证法”只适用于已经定义的集 证明同上，在谓词演算中，若x:=x:=xp,则 合U上。 P(xp)是不动命题，xp、P(xp)在U上无定义。 定理15不动项矛盾用于“反证法”的限制 与系统L一样，未定义命题P(x)与其他命题 U={x1,x2,x3,…,xn,…}是一个已经定义集 的混合演算，如P(xp)A一P(x)、P(xp)A 合，不动项矛盾不能作为“反证法”在已定义的集合 P(xp)→Q(x:)、P(xp)VP(xp)等都是无意 U上的推理依据。 义的，不合法的。 证明因为根据U外不动项定理，不动项矛盾 定理11系统完全性定理 是已定义集合外的矛盾： 系统K中，若=Pa或V(Pa)=1则a上P; 假设不动项矛盾能作为“反证法”在已定义的 证明因为K“一K,而系统K是完全的，即 集合上的推理依据。 若P,则K上pm;所以，若=Pa或V(P)=1 那么，有矛盾命题P(xp)P(xp)成立，而且 则K上P; 这是一个U外恒成立的矛盾； 所以，系统K也是完全的。 根据邓一斯各特定理（上A,上A,那么 定理12P(xp)是不可判定命题 上B),这个逻辑系统中一切命题都是定理，这是一 命题P(xp)在系统K中是不可判定命题（证 个崩溃的系统： 明略，因为不动命题是不可判定命题)。 如果不动项矛盾能作为“反证法”在已定义的集合 注记3悖论P(xp)不参与系统演算 U上的推理依据，将建立不起来任何足道的系统： 1)虽然系统K中出现了悖论P(xp),但是， 所以，不动项矛盾不能作为“反证法”在已定义 P(x)是未定义命题，不参与系统演算，不会导致系 的集合U上的推理依据。 统K演算崩溃，系统仍然是有效的。 在逻辑系统L“、中，若U= 2)虽然系统K中出现了不可判定P(xp),但是， {x1,x2,x3,…,xn,…}是已定义集合，P是U上的任 P(xp)与系统完全性无关，系统K仍是完全的。 意一个有定义的性质，若x:∈U,则P(x:)、一P(x:) 4.4经典逻辑定理的适用范围 是有定义、有意义的命题；若x:U,则P(x:)、 定义6超协调逻辑系统 P(x:)是无定义、无意义的命题。 正反命题演算系统“L“”与正反谓词系统 推论1构造悖论，不能作为“反证法”在已定 “”也称超协调逻辑系统。 义的集合U上的推理依据。 在超协调系统中，可以发现经典逻辑是定义在 例1构造悖论的错误证明方法 一个已知集合U上的，不能无限制地使用到U外， 举出一个具体的例子，U为全体整数集合U= 经典逻辑的推理有一个使用范围。 J,假设在n=n中，任意n∈J;把U=J分成偶数 定理13经典逻辑的适用范围 集合与奇数集合： U={x1,x2,x3,…,xn,…}是一个已经定义集 +a={x|x=2n,n∈U}证明 因为 Ｌ α⇔Ｌ ，而系统 Ｌ 是完全的，即： 若 ｜＝Ｐ α ，则 Ｌ ├ Ｐ α ；所以，若 ├Ｐ α 或 Ｖ（Ｐ α ） ＝ １ 则 Ｌ α ├ Ｐ α ； 所以，系统 Ｌ α 也是完全的。 定理 ９ Ｐ ｅ 是不可判定命题 命题 Ｐ ｅ 在系统 Ｌ α 中是不可判定命题（证明略， 因为不动命题是不可判定命题）。 注记 ２ 悖论 Ｐ ｅ 不参与系统演算 １）虽然系统 Ｌ α 中出现了悖论 Ｐ ｅ ，但是， Ｐ ｅ 是 未定义命题，不参与系统演算，不会导致系统 Ｌ α 演 算崩溃，系统 Ｌ α 仍然是有效的。 ２）虽然系统 Ｌ α 中出现了不可判定 Ｐ ｅ ，但是， Ｐ ｅ 与系统完全性无关，系统 Ｌ α 仍然是完全的，系统 Ｌ α 的定理集合是可判定的。 定理 １０ Ｐ（ｘＰ ） 是域外命题 命题 Ｐ（ｘＰ ） 在系统 Ｋ α 中是未定义命题； 证明同上，在谓词演算中，若 ｘｉ ＝ ｘｉ ＝ ｘＰ ，则 Ｐ（ｘＰ ） 是不动命题， ｘＰ 、 Ｐ（ｘＰ ） 在 Ｕ 上无定义。 与系统 Ｌ α 一样，未定义命题 Ｐ（ｘＰ ） 与其他命题 的混 合 演 算， 如 Ｐ（ｘＰ ） ∧ ¬ Ｐ（ｘｉ） 、 Ｐ（ｘＰ ） ∧ ¬ Ｐ（ｘＰ ） → Ｑ（ｘｉ） 、 Ｐ（ｘＰ ） ∨ ¬ Ｐ（ｘＰ ） 等都是无意 义的，不合法的。 定理 １１ 系统 Ｋ α 完全性定理 系统 Ｋ α 中，若 ｜＝Ｐ α 或 Ｖ（Ｐ α ） ＝ １ 则 Ｋ α ├ Ｐ α ； 证明 因为 Ｋ α⇔Ｋ ，而系统 Ｋ 是完全的，即 若 ｜＝Ｐ α ，则 Ｋ ├ Ｐ α ；所以，若 ｜＝Ｐ α 或 Ｖ（Ｐ α ） ＝ １ 则 Ｋ α ├ Ｐ α ； 所以，系统 Ｋ α 也是完全的。 定理 １２ Ｐ（ｘＰ ） 是不可判定命题 命题 Ｐ（ｘＰ ） 在系统 Ｋ α 中是不可判定命题（证 明略，因为不动命题是不可判定命题）。 注记 ３ 悖论 Ｐ（ｘＰ ） 不参与系统演算 １） 虽然系统 Ｋ α 中出现了悖论 Ｐ（ｘＰ ） ，但是， Ｐ（ｘＰ ） 是未定义命题，不参与系统演算，不会导致系 统 Ｋ α 演算崩溃，系统 Ｋ α 仍然是有效的。 ２）虽然系统 Ｋ α 中出现了不可判定 Ｐ（ｘＰ） ，但是， Ｐ（ｘＰ） 与系统完全性无关，系统 Ｋ α 仍是完全的。 ４．４ 经典逻辑定理的适用范围 定义 ６ 超协调逻辑系统 正反命题演算系统 “ Ｌ α ” 与正反谓词系统 “ Ｋ α ”也称超协调逻辑系统。 在超协调系统中，可以发现经典逻辑是定义在 一个已知集合 Ｕ 上的，不能无限制地使用到 Ｕ 外， 经典逻辑的推理有一个使用范围。 定理 １３ 经典逻辑的适用范围 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘ { ｎ ，…} 是一个已经定义集 合，经典逻辑的所有定理只适用于已经定义的集合 Ｕ 上。 证明 设 Ｕ ＝ ＋ α ∪－ α 是一个已定义集合； 假设在这个已定义集合外，可以适用经典逻辑 的所有定理，根据 Ｕ 外不动项定理， 那么，有矛盾命题 Ｐ（ｘＰ ）↔¬ Ｐ（ｘＰ ） 成立； 根 据 邓—斯 各 特 定 理 （ ├ Ａ ， ├ ¬ Ａ ， 那 么 ├ Ｂ ），这个逻辑系统中一切命题都是定理，这是一 个崩溃的系统； 所以，经典逻辑的所有定理只适用于已经定义 的集合 Ｕ 上。 定理 １４ “反证法”的适用范围 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘ { ｎ ，…} 是一个已经定义集 合，“反证法”只适用于已经定义的集合 Ｕ 上。 证明 因为，反证法是经典逻辑的一条定理， 即：如果 Ａ ├ Ｂ 且 Ａ ├ ¬ Ｂ ，那么├ ¬ Ａ ； 根据定理 １３，“反证法”只适用于已经定义的集 合 Ｕ 上。 定理 １５ 不动项矛盾用于“反证法”的限制 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘ { ｎ ，…} 是一个已经定义集 合，不动项矛盾不能作为“反证法”在已定义的集合 Ｕ 上的推理依据。 证明 因为根据 Ｕ 外不动项定理，不动项矛盾 是已定义集合外的矛盾； 假设不动项矛盾能作为“反证法”在已定义的 集合上的推理依据。 那么，有矛盾命题 Ｐ（ｘＰ ）↔¬ Ｐ（ｘＰ ） 成立，而且 这是一个 Ｕ 外恒成立的矛盾； 根 据 邓—斯 各 特 定 理 （ ├ Ａ ， ├ ¬ Ａ ， 那 么 ├ Ｂ ），这个逻辑系统中一切命题都是定理，这是一 个崩溃的系统； 如果不动项矛盾能作为“反证法”在已定义的集合 Ｕ 上的推理依据，将建立不起来任何足道的系统； 所以，不动项矛盾不能作为“反证法”在已定义 的集合 Ｕ 上的推理依据。 在 逻 辑 系 统 Ｌ α 、Ｋ α 中， 若 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘ { ｎ ，…} 是已定义集合， Ｐ 是 Ｕ 上的任 意一个有定义的性质，若 ｘｉ ∈ Ｕ ，则 Ｐ（ｘｉ）、¬ Ｐ（ｘｉ） 是有定义、有意义的命题；若 ｘｉ ∉ Ｕ ，则 Ｐ（ｘｉ）、 ¬ Ｐ（ｘｉ） 是无定义、无意义的命题。 推论 １ 构造悖论，不能作为“反证法”在已定 义的集合 Ｕ 上的推理依据。 例 １ 构造悖论的错误证明方法 举出一个具体的例子， Ｕ 为全体整数集合 Ｕ ＝ Ｊ， 假设在 ｎ ＝ ｎ 中，任意 ｎ ∈ Ｊ ； 把 Ｕ ＝ Ｊ 分成偶数 集合与奇数集合： ＋ α ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ ２ｎ，ｎ ∈ Ｕ} 第 ５ 期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·６２１·