第三章矩阵的初等变换 31矩阵的秩 1.子式:在A中,选取k行与k列,位于交叉处的k2个数按照原来的 相对位置构成k阶行列式称为A的一个k阶子式,记作D 对于给定的k,不同的k阶子式总共有CC个 2.矩阵的秩:在A中,若 (1)有某个r阶子式D≠0; (2)所有的r+1阶子式Dn=0(如果有r+1阶子式的话) 称A的秩为r,记作 ranka=r,或者r(A)=r,规定: ranko=0 性质:() rankA≤min{m,n} (2)k≠0时mank(k4)= ranka (3)rankA=rankA (4)A中的一个D≠0→ rankA≥r (5)A中所有的D1=0→mnkA≤r 例1A=212-212|,求r(A) 解位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D2 =30≠0 计算知,所有的3阶子式D3=0,故r(4)=2 [注]A,着 ranka=m,称A为行满秩矩阵 若 ranka=n,称A为列满秩矩阵1 第三章 矩阵的初等变换 §3.1 矩阵的秩 1. 子式：在 Amn 中, 选取 k 行与 k 列, 位于交叉处的 2 k 个数按照原来的 相对位置构成 k 阶行列式, 称为 A 的一个 k 阶子式, 记作 Dk ． 对于给定的 k , 不同的 k 阶子式总共有 k n k Cm C 个． 2. 矩阵的秩：在 Amn 中，若 (1) 有某个 r 阶子式 Dr  0 ； (2) 所有的 r + 1 阶子式 Dr+1 = 0 （如果有 r + 1 阶子式的话）． 称 A 的秩为 r , 记作 rankA= r, 或者 r(A) = r ．规定： rankO = 0 性质：(1) rankA min{m,n} mn  (2) k  0 时 rank (kA) = rankA (3) rankA rankA T = (4) A 中的一个 Dr  0  rankA  r (5) A 中所有的 Dr+1 = 0  rankA  r 例 1           − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 A , 求 r(A) ． 解 位于 1,2 行与 1,2 列处的一个 2 阶子式 30 0 2 12 2 3 2 =  − D = 计算知, 所有的 3 阶子式 D3 = 0 , 故 r(A) = 2 ． [注] Amn , 若 rankA= m , 称 A 为行满秩矩阵； 若 rankA= n, 称 A 为列满秩矩阵．