§21.2泛函的极值 这就是能量守恒 下面研究二元函数的情形.设有二元函数u(x,y),(x,y)∈S,在此基础上可以定义泛函 a, y, u, uz, 仍然约定,u(x,y)在S的边界T上的数值给定,即 ur固定 首先,当然要计算 Ju+Su-Ja F(, y, u+Su,(u+ Su)z,(u+Su)y)dr dy F(, y, u, ur, uy)dr dy 0 +(5u)}x,+(5n)y 01F 于是,泛函J回取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0, F +(S)z aur aF a/aF 0/0F δ u dr d a/aF ar Su).z dy 利用公式 dx (mx+) Q= OF 就能将上面的结果化为 aF a af a aF δJd]= sudrd du ar dur dy auy dr+§21.2 泛 函 的 极 值 第 7 页 这就是能量守恒． 下面研究二元函数的情形．设有二元函数u(x, y), (x, y) ∈ S，在此基础上可以定义泛函 J[u] = ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy. 仍然约定，u(x, y)在S的边界Γ上的数值给定，即 u ¯ ¯ Γ 固定. 首先，当然要计算 J[u + δu] − J[u] = ZZ S F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy − ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy = ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i F dx dy + 1 2! ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i2 F dx dy + · · · , 于是，泛函J[u]取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0， δJ[u] = ZZ S h δu ∂F ∂u + (δu)x ∂F ∂ux + (δu)y ∂F ∂uy i dx dy = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux ´ − ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy ´i δu dx dy + ZZ S h ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux δu ´ + ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy δu ´i dx dy = 0. 利用公式 ZZ S ³ ∂Q ∂x − ∂P ∂y ´ dx dy = Z Γ ³ Pdx + Qdy ´ , 取 Q = ∂F ∂ux δu, P = − ∂F ∂uy δu, 就能将上面的结果化为 δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + Z Γ h − ∂F ∂ux dx + ∂F ∂uy dy i δu