第四讲(二)无穷级数 无穷级数,特别是幂级数,是解析函数的重的,达形式之 可多等函数。特殊函数就是、幂级数得义的 对于函数级数理要。实于函数的比较:概念,方上的异同 §4.1复数级数 义复数级数 u0+a1+u2+……+un+ 令un的实部和虚部分别为an与Bn,则 段价于两个实数级数∑an和∑A,反之然 n=0 时, 个复数级数∑un完 复级的收敛和 如果级数的部分和 所构成的序列{Sn}收敛,则的级数∑un收敛,序列{Sn}的极限S= lim Sn,的为级数∑ 的和 否则,级数∑ωn是、散的 级数的收敛的,是”它的部分和序列的收敛的定义的.因此,根据序列收敛的和要条件,可 以公出级数收敛的和要条件— Cauchy和要条件:任式给得ε>0,存在正整数n,使对于任式 正整数p <E 特别是,令p=1,就得到级数收敛的要条件 ★在不改变求和次序的前提下,可以将收敛级数并项 u1+a2+3+u4+ (1+u2)+(u3+u4)+…Wu Chong-shi §4.1 ◆ ❖ P ❖ ✟ 6 ✠ ✡ ☛☞ (◗) ❘ ❙ ❚ ❯ ❱❲❳ö✰❨❩î❬❳ö✰ îóôõöò❭❪❫ò❴❵❛❜❝❞❄ ❡ ❢❣❤õö✽ ❨✐õö❥ î❦❬❳ö❧♠ò❄ ♥♦õö❳ö♣q✽ r♦õöòst➦✉✈✽✇①ò② ③❄ §4.1 ④ ➺ ⑤ ➺ ✻⑥ ❑✯⑦✯ u0 + u1 + u2 + · · · + un + · · · = X∞ n=0 un. ❢ un ✩ ù⑧ ➊⑨ ⑧ ✳ ➥ ✹ αn ❴ βn, ✽ X∞ n=0 un = X∞ n=0 αn + iX∞ n=0 βn. ✻➂❑✯⑦✯ Pun ⑩ ✴❶❷♦❸ ➂ ù✯⑦✯ Pαn ➊ Pβn ✰❹❺❻→ ❄ ❼❽❾❽✚❿➀➁➂➃ ➀❪⑦✯ ✩ ⑧ ✳➊ Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un ➋★ ➭ ✩❍➄ {Sn} ➅➆✰✽✩ ⑦✯ Pun ➅➆✰ ❍➄ {Sn} ✩➡➢ S = limn→∞ Sn ✰ ✩✹ ⑦✯ Pun ✩➊ X∞ n=0 un = limn→∞ Sn. ➇✽✰⑦✯ Pun ✥➈➉✩❄ ⑦✯ ✩➅➆✚✰ ✥ ✛÷ ✩ ⑧ ✳➊❍➄✩➅➆✚ ◆❉✩❄❣❬✰■❏❍➄➅➆✩➊ q ✦➋✰❡ ➃➌ ➠⑦✯ ➅➆✩➊ q ✦➋ Cauchy ➊ q ✦➋➦ ❃➍➎❧ ε > 0 ✰➏➐➑ ➒ö n ✰➓ ❀❁❃➍ ➑ ➒ö p ✰➔ |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε. ➤➥✥ ✰❢ p = 1 ✰❥❧➙⑦✯ ➅➆✩→ q ✦➋ limn→∞ un = 0. F ❆Ý➣ë➟ ➊●❍✩↔↕Û ✰❡➃➙➅➆⑦✯❐➛ ❄ u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = (u1 + u2) + (u3 + u4) + · · ·