时收敛于x或其附近，其平面几何表示见图8-18(b)。 (4)大范围稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，6→0，S()→0，x→0。对于线性系统 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 (5)不稳定性不论6取得得多么小，只要在S(6)内有一条从0出发的轨迹跨出 S(),则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图8-18(c)。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε)，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据系统：=Ax渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re(,)<0 i=l,…,n (8-74) 证明假定A有相异特征值入，…，入。，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x=Px(P由特征值入，对应的特征向量构成，为一常数矩阵)，可使A对角化，有 A=pP-AP=diag(,…入n) 变换后状态方程的解为x)=e"x(0)=diag(e'…e2m')x(0) 由于 x=P-x,x(0)=P-x(0) 故原状态方程的解为x0)=Pep-xO=e"xO) 有 e=Pep-=Pdiag(e..e)p- 将上式展开，©的每一元素都是e,”e心的线性组合，因而可写成矩阵多项式 e"-2Re4=Re+…+R,e4 故x()可以显式表出与A,的关系 329 329 时收敛于 xe或其附近，其平面几何表示见图 8-18（b）。 （4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，  → ，S() →  ，x → 。对于线性系统， 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 （5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在 S( )  内有一条从 x0 出发的轨迹跨出 S( )  ，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图 8-18（c）。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过 S( )  ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据 系统 x  = Ax 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re(i )  0 i = 1,  , n （8-74） 证明 假定 A 有相异特征值  n , , 1  ，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x = Px （P 由特征值 i 对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使 A 对角化，有 ( , ) 1 1 A = P AP = diag  n −  变换后状态方程的解为 x(t) e x(0) diag(e 1 e )x(0) t n At  t   = = 由于 x P x −1 = ， (0) (0) 1 x P x − = 故原状态方程的解为 ( ) (0) (0) 1 x t Pe P x e x At At = = − 有 1 1 diag( ) − 1 − e = Pe P = P e e P At At t t   n 将上式展开， At e 的每一元素都是 t t n e e   , , 1  的线性组合，因而可写成矩阵多项式 t n t t n i i At i n e R e R e R e    =  = + + = 1 1  1 故 x(t) 可以显式表出与λi的关系