临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 所以,a+B=sup(A+B,即supA+supB=sup(A+B 例5求数集S=1+2“pm∈N的上、下确界 分析当n2时,+21=21+2,容易看出=时2+2是偶数项中的最大数当n2+1 时, 2分斗1,当k充分大时,奇数项与数1充分靠近因为21+n2=√5是S中最 大数,于是supS=√5,由上面分析可以看出itS=1 解:因为√5是S中最大数,于是supS=√5再证 inf s==1,这是因为 (i)mnⅥ+2≥1 (i)设a=1+n2,由等式a-1=(a-)a”+a“2+…+D)可知 w+12+2=++52m 于是Y6>03∈N(只要k,使得 234+<1+E 这样便证得infS=1 例6设数集S={1+nsn"m∈N,},求sups,ifs 解:不妨取n=6k+1,6k+2,…,6k+5(k=1,2,…)验证相应数值,可以发现一些规律.取 n=6k+1(k=12,3,…)得到数集S的子集 s={1+(6k+1)y2k∈N 取n=6k+5(k=12,3,…)又得到子集临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 4 - 所以，α + β = sup(A + B)，即sup A + sup B = sup(A + B)． 例 5 求数集 S= { + } − + n∈ N n n n ( 1) 1 2 的上、下确界. 分析 当 n=2k 时， k k k k 2 2 2 2 2 1 1+ 2 = 2 1+ ，容易看出k =1时 2 2 1 2 1+ 是偶数项中的最大数.当 n=2k+1 时， 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 (2 1) + = + + > + + − + k k k k ，当 k 充分大时，奇数项与数 1 充分靠近.因为 2 2 1 2 1+ = 5 是 S 中最 大数，于是 sup S= 5 ，由上面分析可以看出 inf S=1. 解： 因为 5 是 S 中最大数，于是 sup S= 5 .再证 inf S=1，这是因为 （i） n n n n ( 1) , 1 2 − ∀ + ≥1； （ii）设 a= 2 1 2 1 2 1 + 1 + k + k ，由等式 an −1= (a −1)(an−1 + an−2 +L+1) 可知， 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + − = − + + + k k L k k k a a ≤ 2 1 2 1 k + ， 于是∀ > ∃ ∈ N+ k 0 δ 0, （只要 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > −1 1 log 2 1 0 2 ε k ），使得 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 + − + + k k ≤ < ε 2 0 +1 2 1 k ， 即 + < + ε + + 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 k k ， 这样便证得 inf S=1. 例 6 设数集 S= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ∈ N+ n n n 3 1 sin π ，求 sup S，inf S. 解 ： 不 妨 取 n = 6k +1,6k + 2,L,6k + 5(k =1,2,L) 验 证 相应数值 ，可以发 现一些规 律 . 取 n = 6k +1(k =1,2,3,L) 得到数集 S 的子集 S= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + ∈ N+ k k 2 3 1 (6 1) ； 取 n = 6k + 5(k =1,2,3,L) 又得到子集