第10期 陈强等：基于人工免疫的故障诊断模型及其应用 。1043。 的亲和力大于变异前两者之间的亲和力，即： 依上式归纳得： aff(Bn+1,Ag2)aff(Bn,Ag) (5) P(Dm+∩D*=O≤ 证明：设Bn=(b1,b2,；bw；A2=（g1,g2, (1-+1a+ ∑Bm-k(1一 ≤b(1-”. …；8N 按定义1有： 这里-1- ,b=(1-8)a0十 aff(Bn,Ag2)= 》,。,为初始抗体集合与D'交集为空的 由于抗体按式(3)变异，则： 概率，其中S|表示N维抗体状态空间可容纳的抗 aff(Bn+1,Ag2)= 体数.N维归一化特征向量实数编码时为十9，但 考虑到实际对抗体浓度和码位数的限制，丨S|的大 1 小是有限的.IDI为D的规模 1+ g,-[b,+(g,-b1)2 根据假设b十∞，故 limP(DnD==0 即 1+ ∑(b-g)21-)2 imP(Dn∩D'≠p=l. 由于0≤u≤l,故aff(Bm+1,A2)≥aff(Bn,A2). 故序列{Dm,n≥0}概率弱收敛.证毕. 证毕. 4.3动态免疫进化学习算法的收敛性 42收敛条件 由动态免疫进化学习算法可知，各代抗体的进 将抗体集合D,={B1,B2,,BM}变异所产 化过程构成齐次马尔可夫链，且抗体规模始终不超 生的各代抗体集合看作一个随机序列，记作{Dm, 过No. n≥0}，参照文献[13]中对随机序列收敛性定义及 定理3对于任意数量No的初始分布，动态免 相关定理的证明，给出关于本文算法收敛条件的定 疫进化学习算法是概率弱收敛. 义和证明. 证明：由算法步骤3.1至步骤3.3知，进化群体 定义3若随机序列{Dm,n≥0}满足 规模始终满足D≤No.据定理I有： limP(Dn∩D*≠o=L, (6) aff(Bn+1,Ag2)aff(Bn,Ag2). 则称此序列概率弱收敛.其中，D为目标抗体集 由于抗原A2对应进化抗体群中最好的解.显然： 合. P(Dn+i∩D*=②Dn∩D*≠p=0. 定理2若D存在，且随机序列{Dm,n≥0}满 由于每代进化至少产生一个新抗体，同时至少 足： 死亡一个旧抗体.随机产生新抗体数量d>O,故 P(Dn+1∩D"≠pDm∩D"=P≥G01 P(Da+∩D'≠刀=I-P(Da+i∩D'=刀= (7 P(D+1∩D=ADn∩D≠O≤Bn, 由定理2可知，该定理成立.证毕. (8) 4.4故障种类标记 则序列刚Dm,n≥0)是概率弱收敛. 特别抗体可能对应一种特殊的故障类型，将其 证明：设 提交给故障种类标记模块，结合故障信息库中的知 am+1=P(Dm+i∩D'≠ADn∩D*=p: 识确认其所对应的故障类型之后，对其进行标记并 bn+i=P(Dn+i∩D=pDn∩D*≠p. 提供给故障诊断模块. 由全概率公式有： 5实验结果 P(Dm+1∩D'=O= 从车床主轴传动齿轮箱轴端部测取振动波形， (I-am+1P(Dn∩D=o+ 从中提取振动幅值信号有效值(MS)和振动幅值 bm+1P(Dn∩D"≠O≤ 信号功率谱积分值(GLP)两种特征参数19，经归一 (1-P(Dn∩D"=②+Pn. 化处理后得到RMS*和GLP,反映齿轮箱的工作的亲和力大于变异前两者之间的亲和力, 即: aff( Bn +1, Ag 2) ≥aff( Bn, Ag2) ( 5) 证明 :设 Bn =( b1, b2, …, bN ) ;Ag2 =( g1, g2, …, gN ) . 按定义 1 有 : aff( Bn , Ag 2) = 1 1 + ∑ N i =1 ( bi -gi) 2 . 由于抗体按式( 3)变异, 则 : aff( Bn +1, Ag 2) = 1 1 + ∑ N i =1 {gi -[ bi +μ( gi -bi)] }2 = 1 1 + ∑ N i =1 ( bi -gi) 2 ( 1 -μ) 2 . 由于 0 ≤μ≤1, 故 aff( Bn +1, Ag2 ) ≥aff ( Bn , Ag2 ) . 证毕 . 4.2 收敛条件 将抗体集合 Di ={Bi 1, Bi 2, …, BiM}变异所产 生的各代抗体集合看作一个随机序列, 记作{Dn , n ≥0}, 参照文献[ 13] 中对随机序列收敛性定义及 相关定理的证明, 给出关于本文算法收敛条件的定 义和证明 . 定义 3 若随机序列{Dn , n ≥0}满足 limn ※∞ P( Dn ∩ D ＊ ≠★/) =1, ( 6) 则称此序列概率弱收敛.其中, D ＊为目标抗体集 合. 定理 2 若 D ＊存在, 且随机序列{Dn , n ≥0}满 足: P ( Dn +1 ∩ D ＊ ≠★/ Dn ∩ D ＊ =★/ ) ≥δ, 0 <δ<1 ( 7) P( Dn +1 ∩D ＊=★/ Dn ∩D ＊≠★/ ) ≤βn, ∑ ∞ n =0 βn <∞ ( 8) 则序列{Dn, n ≥0}是概率弱收敛. 证明 :设 an +1 ≡P( Dn +1 ∩ D ＊≠★/ Dn ∩ D ＊=★/ ) ; bn +1≡P( Dn +1 ∩ D ＊=★/ Dn ∩ D ＊≠★/ ) . 由全概率公式有 : P( Dn +1 ∩ D ＊=★/ ) = ( 1 -an +1) P( Dn ∩ D ＊ =★/) + bn +1P( Dn ∩ D ＊≠★/ ) ≤ ( 1 -δ) P( Dn ∩D ＊ =★/ ) +βn . 依上式归纳得 : P ( Dn +1 ∩ D ＊ =★/) ≤ ( 1 -δ) n +1 a 0 + ∑ n k =0 βn -k ( 1 -δ) k ≤b( 1 -δ) n . 这里, a 0 = 1 - D ＊ S N , b ≡( 1 - δ) a 0 + ∑ n k =0 βk ( 1 -δ) k , 为初始抗体集合与 D ＊交集为空的 概率, 其中 S 表示 N 维抗体状态空间可容纳的抗 体数 .N 维归一化特征向量实数编码时为 +∞, 但 考虑到实际对抗体浓度和码位数的限制, S 的大 小是有限的 . D ＊ 为 D ＊的规模. 根据假设 b <+∞, 故 limn ※∞ P ( Dn ∩ D ＊=★/ ) =0, 即 limn ※∞ P ( Dn ∩ D ＊≠★/ ) =1 . 故序列{Dn , n ≥0}概率弱收敛.证毕 . 4.3 动态免疫进化学习算法的收敛性 由动态免疫进化学习算法可知, 各代抗体的进 化过程构成齐次马尔可夫链, 且抗体规模始终不超 过 N 0 . 定理3 对于任意数量 N0 的初始分布, 动态免 疫进化学习算法是概率弱收敛. 证明:由算法步骤 3.1 至步骤 3.3 知, 进化群体 规模始终满足 Dn ≤N 0 .据定理 1 有 : aff( Bn +1, Ag 2) ≥aff( Bn, Ag 2) . 由于抗原 A g2对应进化抗体群中最好的解 .显然: P( Dn +1 ∩ D ＊ =★/ Dn ∩ D ＊≠★/ ) =0 . 由于每代进化至少产生一个新抗体, 同时至少 死亡一个旧抗体.随机产生新抗体数量 d >0, 故 P( Dn +1 ∩ D ＊≠★/ ) =1 -P( Dn +1 ∩ D ＊=★/ ) = 1 - S - D ＊ S d >1 - S - D ＊ S N 0 ≡δ≥0 . 由定理 2 可知, 该定理成立 .证毕. 4.4 故障种类标记 特别抗体可能对应一种特殊的故障类型, 将其 提交给故障种类标记模块, 结合故障信息库中的知 识确认其所对应的故障类型之后, 对其进行标记并 提供给故障诊断模块. 5 实验结果 从车床主轴传动齿轮箱轴端部测取振动波形, 从中提取振动幅值信号有效值( RM S) 和振动幅值 信号功率谱积分值( GLP) 两种特征参数[ 10] , 经归一 化处理后得到 RM S ＊和 GLP ＊, 反映齿轮箱的工作 第 10 期 陈 强等:基于人工免疫的故障诊断模型及其应用 · 1043 ·