当然,具有良好对称性的刚体在适当的条件下也可能在约束力矩的合力矩为零的情况 下作定轴转动或平面平行运动 还有一个问题:刚体作平面平行运动时,瞬时转动中心能否作为角动量定理的基点?(确 切些说,也就是,以瞬时转动中心为基点,角动量定理能否也表为 dL s材?)结论是: 如果瞬时转动中心到质心的距离保持不变,答案是肯定的;否则答案是否定的。关键的一点 是:瞬时转动中心的速度虽然为零,但加速度不为零。(参阅参考资料25,26,27和教材 117页例2) 对于刚体的定点转动或一般运动的转动部分,选用了符合前述条件的坐标系已使方程在 很大程度上得到化简因而是比较方便的。但是,即便如此,对于刚体的定点转动,到现在 为止,我们只知道下列三种特殊情况(对外力矩或刚体形状作某些限制)可以有解析解: (1)欧拉一潘索情况:(参见§4.8) (2)拉格朗日一泊松情况:(参见§4.9) (3)柯凡律夫斯卡雅情况 2.10.刚体的自由转动欧拉一潘索情况) 1.自由转动是指外力矩为零的一种情形。如果是定点转动,定点一定与质心重合,否则 重力矩不能为零。如果是一般运动,因为在动力学中分解刚体的一般运动基点总是选在质 心,重力矩自动为零:因此它的转动部分是自由转动 以地球为例,受太阳的引力,因地球的线度比起日地距离来要小得多,太阳引力的合力可 认为近似作用于地球的质心,以质心为基点分解地球的运动,平动部分系在太阳引力的作用 下作公转(以质心为代表的质点运动),转动部分系围绕质心作自转(质心参考系中的定点 转动)此时外力矩为零地球作自由转动 自由转动是因惯性而运动不要一提到惯性就联想到匀速直线运动。对质点或刚体的平 动部分,惯性运动是匀速直线运动。对刚体的转动部分就不是这样了 2.我们用欧拉动力学方程来处理这个问题。由于外力矩为零,方程化简为 l1-(l2-l3)o,o2=0 1o-(l1-l2) (1)+(2)j+(3)k得到L=0积分,得到L=o+l20,+12k=常矢量 (1)2l2+(2)2l2o,+(3)2/02积分2o2+12o2+13o2=D2=常量 (1)22+(2)20,+(3)202积分2+l20y2+l202=2E=常量 也可由动量守恒和能量守恒直接得到 由此继续下去,虽然原则上可以积分求解,(127页)但实际上是很困难的 3.在对称欧拉陀螺的情况下,(1=12)计算可以大大简化,可以解得:(130页) O2=Oco(m+s),O,= Oo sin(m+),O.=常数其中n=O2(l3-l)/l +O-=常数6 当然，具有良好对称性的刚体在适当的条件下也可能在约束力矩的合力矩为零的情况 下作定轴转动或平面平行运动。 还有一个问题：刚体作平面平行运动时,瞬时转动中心能否作为角动量定理的基点？（确 切些说，也就是，以瞬时转动中心为基点，角动量定理能否也表为 dL M dt = ？）结论是： 如果瞬时转动中心到质心的距离保持不变，答案是肯定的；否则答案是否定的。关键的一点 是：瞬时转动中心的速度虽然为零，但加速度不为零。（参阅参考资料 25，26，27 和教材 117 页例 2） 对于刚体的定点转动或一般运动的转动部分，选用了符合前述条件的坐标系已使方程在 很大程度上得到化简,因而是比较方便的。但是，即便如此，对于刚体的定点转动，到现在 为止,我们只知道下列三种特殊情况(对外力矩或刚体形状作某些限制)可以有解析解： (1)欧拉—潘索情况；（参见§4. 8） (2)拉格朗日—泊松情况；（参见§4. 9） (3)柯凡律夫斯卡雅情况。 2．10．刚体的自由转动(欧拉—潘索情况) 1．自由转动是指外力矩为零的一种情形。如果是定点转动，定点一定与质心重合,否则 重力矩不能为零。如果是一般运动，因为在动力学中分解刚体的一般运动,基点总是选在质 心，重力矩自动为零；因此它的转动部分是自由转动。 以地球为例,受太阳的引力,因地球的线度比起日地距离来要小得多，太阳引力的合力可 认为近似作用于地球的质心， 以质心为基点分解地球的运动,平动部分系在太阳引力的作用 下作公转（以质心为代表的质点运动）,转动部分系围绕质心作自转（质心参考系中的定点 转动）此时外力矩为零,地球作自由转动。 自由转动是因惯性而运动,不要一提到惯性就联想到匀速直线运动。对质点或刚体的平 动部分，惯性运动是匀速直线运动。对刚体的转动部分就不是这样了。 2．我们用欧拉动力学方程来处理这个问题。由于外力矩为零,方程化简为： ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 3 1 2 0 0 0 x y z y z x z x y I I I I I I I I I           − − =   − − =  − − =  (1 2 3 )i j k + + ( ) ( ) 得到 L = 0 积分，得到 L I i I j I k = + + = 1 2 3    x y z 常矢量, (1 2 2 2 3 2 ) I I I 1 2 3    x y z + + ( ) ( ) 积分 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 x y z I I I L    + + = =常量 (1 2 2 2 3 2 )    x y z + + ( ) ( ) 积分 2 2 2 1 2 3 2 x y z I I I E    + + = = 常量 也可由动量守恒和能量守恒直接得到。 由此继续下去，虽然原则上可以积分求解，(127 页)但实际上是很困难的。 3．在对称欧拉陀螺的情况下， (I I 1 2 = ) 计算可以大大简化,可以解得：(130 页)    x = + 0 cos(nt ),    y = + 0 sin(nt ), z = 常数,其中 ( 3 1 1 )/ z n I I I = −  2 2    = + = 0 z 常数