8.2线性系统的运动分析 82.1线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x()=A) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱一哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解 1.幂级数法设齐次方程的解是1的向量幂级数 x0)=b。+b1+b22+…+b+… 式中，x,b,b,…,b,…都是n维向量，且x(0)=b。,求导并考虑状态方程，得 0)=+2b,1+…+kh1-+…=46。+b1+b22+…+b+) 由等号两边对应的系数相等，有 b=Ab。 6=546=54产6， 6=4=话46， 6=天4h=石4b, 故 0=u+F++话+0 (8-37) 定义 (8-38) 则 x()=e"x(0) (8-39) 标量微分方程x=瓜的解与指数函数e“的关系为x()=ex(O),由此可以看出，向 量微分方程(836)的解与其在形式上是相似的，故把“称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。 2 327 8.2 线性系统的运动分析 8.2.1 线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x (t) = Ax(t) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。 1.幂级数法 设齐次方程的解是 t 的向量幂级数 x(t) = b0 + b1 t + b2 t 2 ++ bk t k + 式中， x,b0 ,b1 ,  ,bk ,  都是 n 维向量，且 0 x(0) = b ，求导并考虑状态方程，得 ( ) 2 ( ) 2 0 1 2 1 x  t = b1 + b2 t ++ k bk t k− + = A b + b t + b t ++ bk t k + 由等号两边对应的系数相等，有   1 0 0 3 3 2 0 2 2 1 1 0 ! 1 1 6 1 3 1 2 1 2 1 A b k Ab k b b Ab A b b Ab A b b Ab k k = k = = = = = = − 故 ) ! 1 2 1 ( ) ( = + + 2 2 ++ A k t k + k x t I At A t x(0) (8-37) 定义 1 1 2 2 2 ! At k k e I At A t A t k = + + + + + = k k k A t k   =0 ! 1 (8-38) 则 x(t) e x(0) At = (8-39) 标量微分方程 x  = ax 的解与指数函数 at e 的关系为 x(t) e x(0) at = ，由此可以看出，向 量微分方程(8-36)的解与其在形式上是相似的，故把 At e 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数