2004年数学四试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) sIn x (1)若ln (cosx-b)=5,则a=1,b=-4 x→0 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 【详解】因为lin (cosx-b)=5,且 lim sin x·(cosx-b)=0,所以 im(e2-a)=0,得a=1.极限化为 x→0 lim(cosx-b=lm(cosx-b)=1-b=5,b=-4 x-0x 因此,a=1,b=-4 【评注】一般地,已知lmf(x 1)若g(x)→>0,则∫(x)→0 (2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例160,P43第1(3)题,P44第2(10)题 第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学四临考演习》P79第7题 《考研数学大串讲》P12例17、19 (2)设y= arctan e-h dy 【分析】本题为基础题型,先求导函数即可 详解】因为y=atnc2-x+he2+,y=°x-1+ 【评注】本题属基本题型,主要考查复合函数求导 类似例题在一般教科书上均可找到 (3)设f(x)= 则|1f(x-1)dx= 【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可 【详解】令x-1=1,[1f(x-1)dx=1f(n)d=1f(x)dt1 2004 年数学四试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = 1 ，b = − 4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0  − = → x x b x ，所以 lim ( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ( ) ( ) lim g x f x ＝ A ， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A  0，则 g(x) → 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36 例 1.60，P43 第 1(3)题，P44 第 2(10)题、 第 6 题，《数学题型集粹与练习题集》P19 例 1.34，《数学四临考演习》P79 第 7 题， 《考研数学大串讲》P12 例 17、19. (2) 设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可. 【详解】因为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ， 1 1 1 2 2 2 + − + +  = x x x x e e e e y ， 所以， 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设      −  −   = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = −  f x dx . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令 x − 1 = t，    − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt