·508· 北京科技大学学报 1994年No.6 假设膨胀岩在一定的应力作用下符合弹性假设，根据变分法推导膨胀问题有限单元方法的解 题过程，以便为程序的编制提供理论依据· 因可将膨胀应力作为一种内力来处理，并假设其符合小变形理论，所以其平衡条件、几何 条件将和外载荷作用的问题相同，所不同的只是物理条件（即本构方程）.设膨胀应变为ε，则 平面应力问题的本构方程为： {o}=[D]({ε}-{e,}) (1) 式中[D]为由广义虎克定律给出的弹性矩阵， 由此可知，若以(《ε}-{e。》取代外载荷作用下的{ε}，便可得到形式相同的本构方程. 在这里，单元的位移模式和单元的应变与结点位移之间的关系式仍可取一般的表示形 式，则单元的本构方程为： {e}=[D[B]{δ}-[D]{e,} (2) 由于岩石吸水膨胀产生的膨胀应力是一种内力，故外力势能为零，则单元的势能为： W=(1/2)({e}-{e,})[D]({e}-{e,})ds 各单元的总势能为： w=(1/2)1δ}'[K]{o}-{⊙{P,}+(1/2)∑{a,"D1{8,ds 式中：K]=∑(C)IK][C;{P,}=∑(C]){P,};IC为单元选择矩阵. 根据能量泛函极值条件，有W/[δ]=O,得： K]{δ}={P} (3) 这就是求解由膨胀引起的结点位移的支配方程，从以上推导的结果可以看到，膨胀问题 的有限元计算与外荷载情况极为相似，在此将{P,}定义为膨胀荷载.在有限元计算过程 中，首先按外荷载进行计算，即支配方程为：[K]{δ}={P?确定最终应力场后，根据各 单元的应力第一不变量值判断哪些单元属膨胀单元（单元应力第一不变量小于单元 的最大体积膨胀应力)，最后对膨胀单元按方程(3)求解附加节点位移，此时的应力场 应按式(1)的本构关系进行计算· 在上面本构方程和刚度支配方程中，膨胀荷载的计算中所涉及的膨胀应变应根据膨胀本 构关系求得，即：e,=(A+BW/I1-CInI)/2 1.2基本假设 在上面推导过程及程序的编制中作了如下假设： (1)围岩是均质、各向同性的； (2)符合小变形理论，不考虑软化问题； (3)围岩为弹塑性体，屈服表面由Drucker--Prager屈服准则定义. 程序的编制采用初应力法·详细的程序编制过程，在此不一一详述·· 酬￾￾ · 北 京 科 技 大 学 学 报 ￾卯￾年 ￾￾ ￾ ￾ 假 设膨胀岩在一 定 的应力作 用下 符合弹性假设 ， 根 据变分法 推导膨胀 问题有 限单元方 法 的解 题过程 ， 以 便 为程 序 的编 制提供理论依据 ￾ 因可 将膨胀 应力作 为一 种 内力来处理 ， 并假设其符合小变形理 论 ， 所 以 其 平 衡 条件 、 几 何 条件将 和 外 载荷作用 的 问题相 同 ， 所 不 同的只是 物理条件 ￾即本构方程 ￾ ￾ 设膨胀应变 为 。 ，， 则 平 面 应 力 问题 的本 构方 程 为 ￾ ￾ ￾卜 ￾￾ ￾￾ 。￾一 ￾ “￾ ￾￾ ￾￾￾ 式 中￾】为 由广 义 虎 克定 律 给 出的弹性 矩 阵 ￾ 由此可知 ， 若以 ￾ 。 ￾一 ￾ ￡， ￾￾取代外载荷作用下的￾ 。 ￾ ， 便可得到形式相同的本构 方程 ￾ 在 这里 ， 单 元 的 位 移 模 式 和 单 元 的 应 变 与结 点 位 移 之 间 的 关 系 式 仍 可 取 一 般 的表 示 形 式 ， 则 单元 的本 构 方程 为 ￾ ￾。 ￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾占￾ ’ 一 ￾￾ 』￾ 。￾ ￾ ￾￾￾ 由于 岩 石 吸水膨 胀产生 的膨胀应力是 一 种 内力 ， 故外 力 势 能 为 零 ， 则单元 的势能 为 ￾ 、一 卫 ，￾￾￾￾￾ ￡￾一 ￾ ￡￾ ￾， ￾ 【￾ ，“ ￡，一 ‘ ￡￾ ，，￾￾ 各单元 的总 势能 为 ￾ ￾ 一 ‘，￾￾，￾‘， · ￾￾，￾‘￾一 ￾￾￾ · ￾尸 ￾ ￾· ￾‘￾￾￾落￾ ￡￾ ￾ · ￾￾ 〕￾ ￡￾ ￾￾￾ 式 中 ￾￾天￾￾ 艺￾￾￾ ·￾ ￾ ￾犬￾「￾￾ · ￾ ￾￾， ￾ ￾一 叉￾￾￾ ·￾ ￾ ￾尸 ￾ ￾ ￾ ￾ 一￾￾ · 为单元 选 择矩 阵 ￾ 根 据 能量 泛 函极 值 条件 ， 有 刁￾￾刁【司￾ ￾ ， 得 ￾ 【￾￾毛占￾￾ ￾￾ ，￾ ￾￾￾ 这 就 是 求解 由膨 胀 引起 的结 点位移 的支 配方 程 ￾ 从 以上 推 导的结 果 可 以看 到 ， 膨 胀 问题 的有 限元 计算 与外 荷 载情 况极 为相 似 ， 在 此 将 ￾尸 、 ￾定 义 为 膨 胀 荷 载 ￾ 在 有 限元 计 算 过 程 中 ， 首 先 按外 荷 载 进行 计算 ， 即支 配方 程 为 ￾ ￾￾￾￾占￾￾ ￾尸￾ ￾ 确 定 最 终 应 力 场 后 ， 根 据 各 单 元 的 应 力 第 一 不 变 量 值 判 断 哪 些 单 元 属 膨 胀 单 元 ￾单 元 应 力 第 一 不 变 量 小 于 单 元 的 最 大 体 积 膨 胀 应 力 ￾ ， 最 后 对膨 胀 单元 按 方 程 ￾ 求 解 附加 节 点 位 移 ￾ 此 时 的 应 力 场 应 按 式 ￾￾ 的本 构 关 系进行计算 ￾ 在 上 面本 构方 程 和 刚度 支配方 程 中 ， 膨胀 荷载 的计算 中所 涉及 的膨胀 应 变应根 据膨胀 本 构 关 系日￾求得 ， 即 ￾ 。、 ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾￾￾￾ 一 ￾￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ 基 本假设 在上 面 推 导过 程 及 程 序 的编 制 中作 了 如下假设 ￾ ￾￾ 围岩 是 均 质 、 各 向同性 的 ￾ ￾￾ 符 合小 变形理 论 ， 不 考 虑软化 问题 ￾ ￾ 围岩 为弹 塑性 体 ， 屈服 表 面 由 ￾￾￾￾ 一 ￾￾￾￾ 屈服 准则定 义 程 序 的编制 采 用 初 应力 法 ￾ 详 细 的程 序编制 过 程 ， 在 此 不 一 一详述