S={:/∈骈饼且cG}代替9.若存在9中的有限个区间1…,Ln使得EcU1, 则m(E-U1)=0.此时定理的结论当然成立。现在设对任意1…,n∈9 Ea∪1.在G中任取一个区间记为1.假定1,…,l已经选取,由于E-U1≠, 故至少存在一个I∈5,使得I与l1…,k都不相交(为什么?)令 λ=sup{:∈9,I∩1=②,1=1…k 既然9中的每个区间都包含于G中,故入≤m(G)<+∞.在9中选取一个区间I+1使 1>4,l1=,i=1…k (1) 继续这个过程,我们就得到9中的一列互不相交的区间{k}使得对每个k≥1满足(1)由 于∪cG,因此有 ∑||≤m(G)<+∞ 于是存在一个n使得∑141</5.令A=E-U=1若能证明m'(4)<E,则 引理就得证设x∈A由于U是闭集并且x∪1,故存在一个区间∈9使得 包含x并且与l13…,J都不相交.若进一步I与{kn中的每个区间都不相交,则对任 意k>n均有≤4<2k+由(2)知道当k→∞时→0,于是=0.但这是不可 能的.因此必与{l4}n中的某个区间相交.令k0=min{:∩k≠必},.则k0>n并 且≤1<2记L的中心为x,半径为r,由于x∈并且1∩≠⑧,故x 与x的距离 dx)1+2p=+2p=34 于是x∈J=[x-5,x+5,]对每个1k∈{kbn令小是与l有相同的中心且 长度为的5倍的区间,则由上面所证知道AcU entiA m(4)≤∑=5∑< k=n+1 k=n+1134 { : } G1 = I I ∈G并且I ⊂ G 代替 G. 若存在 G 中的有限个区间 n I , ,I 1 " 使得 , 1 ∪ n i i E I = ⊂ 则 ( ) 0. 1 − = = ∗ ∪ n i i m E I 此时定理的结论当然成立 . 现在设对任意 I1 ,",I n ∈ G, . 1 ∪ n i i E I = ⊄ 在G 中任取一个区间记为 . 1 I 假定 k I , ,I 1 " 已经选取. 由于 , 1 − ≠ ∅ = ∪ k i i E I 故至少存在一个 I ∈ G, 使得 I 与 k I , ,I 1 " 都不相交(为什么?). 令 sup{ I : I , I I , i 1, , k}. λk = ∈G ∩ i = ∅ = " 既然G 中的每个区间 I 都包含于G 中, 故 ≤ m(G) < +∞. λk 在G 中选取一个区间 k+1 I 使 , 2 1 k 1 k I + > λ , 1, , . 1 I I i k k+ ∩ i = ∅ = " (1) 继续这个过程, 我们就得到G 中的一列互不相交的区间{ }, k I 使得对每个 k ≥ 1满足(1). 由 于 , 1 I G k k ⊂ ∞ = ∪ 因此有 ( ) . 1 ∑ ≤ < +∞ ∞ = I m G k k (2) 于是存在一个 n 使得 1 5. k k n I ε ∞ = + ∑ < 令 1 . n k k AE I = = −∪ 若能证明 ( ) < ε, ∗ m A 则 引理就得证. 设 x ∈ A. 由于 1 n k k I ∪ = 是闭集并且 1 , n k k x I = ∉ ∪ 故存在一个区间 I ∈ G 使得 I 包含 x 并且与 n I , ,I 1 " 都不相交. 若进一步 I 与 k k n I > { } 中的每个区间都不相交, 则对任 意 k > n 均有 2 . ≤ k < k+1 I λ I 由(2)知道当 k → ∞ 时 → 0, k I 于是 I = 0. 但这是不可 能的. 因此 I 必与 k k n I > { } 中的某个区间相交. 令 min{ : }. k0 = k I ∩ I k ≠ ∅ 则 k0 > n 并 且 2 . 0 1 0 k k I ≤ < I λ − 记 0 k I 的中心为 , 0 k x 半径为 . 0 k r 由于 x ∈ I 并且 , I ∩ I k0 ≠ ∅ 故 x 与 0 k x 的距离 . 2 5 2 1 2 2 1 ( , ) 0 0 0 0 0 k k k k k d x x ≤ I + I ≤ I + I = I 于是 [ 5 , 5 ]. 0 0 o 0 o k k k k k x ∈ J = x − r x + r 对每个 { } , k k k n I I ∈ > 令 k J 是与 k I 有相同的中心且 长度为 k I 的 5 倍的区间, 则由上面所证知道 1 . k k n A J ∞ = + ⊂∪ 因此 ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∗ ≤ = < 1 1 ( ) 5 . k n k k n k m A J I ε ■