中间值定理 定理3.4.4若函数f(x)在闭区间[ab上连续,则它一定能取到 最大值M=max{f(x)|x∈[a,b]}和最小值m=minf(x)x∈[a,b]}之间的任 何一个值。 证由最值定理,存在5,n∈{a,b],使得 f(2)=m,f(m)=M 不妨设ξ<n,对任何一个中间值C,m<C<M,考察辅助函数 q0(x)=f(x)-C。 因为o(x)在闭区间[,n上连续,o()=f(2)-C<0 o(m)=f()-C>0,由零点存在定理,必有g∈(,n),使得 0()=0,即f(g)=C 证毕中间值定理 定理3.4.4 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，则它一定能取到 最大值M = max { f ( ) x x ab | ∈[,]}和最小值m = min { f ( ) x x ab | ∈[,]}之间的任 何一个值。 证 由最值定理，存在ξ,η ∈ ba ],[ ，使得 f ( ) ξ = m， f ( ) η = M 。 不妨设ξ < η ，对任何一个中间值Cm C M , < < ，考察辅助函数 ϕ() () x f = x C− 。 因为ϕ( ) x 在闭区间[,] ξ η 上连续，ϕ() () 0 ξ ξ = −< f C ， ϕ() () 0 η η = f C− > ，由零点存在定理，必有ς ∈(,) ξ η ，使得 ϕ() 0 ς = ， 即 f ( ) ς = C 。 证毕