3-4v plane strain 其中K= 3-V 。上式表明，如果己知复势p,X就可以求出位移分量u和 plane stress +v V。 (4)极坐标中位移和应力的复数表示 极坐标中的位移分量和直角坐标中位移分量的关系为 u,=ucos+vsine (9.10) up =-usin0+vcos 由此可得4，+iu。=(u+iv)e0，所以极坐标中位移的复数表示为 2u(u,+iug)=e-[ko(=)-z0'(z)-w(=)] (9.11) 根据极坐标和直角坐标下应力分量的关系，可导出极坐标中应力的复数表示， 0,+0。=0x+0,=4ReΦ(z) (9.12) oo-o,+2ire=2e2[E'(a)+平(e月 9.3边界条件的复变函数表示 设弹性体边界L上作用的面力为(Xn,Y),n外法向。P为L的起点，P为L上任意一 点，从P到P的弧长为S。由柯西公式，有 X =o,cos(n,x)+cos(n,y)= o'U dy ou dx d au oy ds axoy dsds oy Y=t cos(n,)+cos(n.)=- u少_au-40L axoy ds dx2 dsds dx auaU 写成复数形式，并将将 Ox'd -的复数表示代入，得 aU (X +ir )ds=-id -idlo(z)+z'()+w()] (9.13) 记F,F,为面力分量X,Y在弧PP上的合力，则有 F +iFy= jX.+,)k=-o(e)+0G)+vE (9.14) 再将边界PP上面力对坐标原点取矩，有 分部积分后得 44 其中 3 4 plane strain 3 plane stress 1 ν κ ν ν ⎧ − ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎩ + 。上式表明，如果已知复势ϕ, χ 就可以求出位移分量u 和 v 。 (4)极坐标中位移和应力的复数表示 极坐标中的位移分量和直角坐标中位移分量的关系为 cos sin sin cos r uu v uu v θ θ θ θ θ = + =− + (9.10) 由此可得 ( ) i r u iu u iv e θ θ − + =+ ，所以极坐标中位移的复数表示为 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] i r u iu e z z z z θ μ κϕ ϕ ψ θ − += − − ′ (9.11) 根据极坐标和直角坐标下应力分量的关系，可导出极坐标中应力的复数表示， 2 4Re ( ) 2 2 [ ( ) ( )] r xy i r r z i ez z z θ θ θ θ σ σ σσ σσ τ +=+= Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.12) 9.3 边界条件的复变函数表示 设弹性体边界 L 上作用的面力为( ,) Xn n Y ，n外法向。P0 为 L 的起点，P 为 L 上任意一 点，从 P0 到 P 的弧长为 s 。由柯西公式，有 2 2 2 2 2 2 cos( , ) cos( , ) ( ) cos( , ) cos( , ) ( ) n x xy n xy y U dy U dx d U X nx ny y ds x y ds ds y U dy U dx d U Y nx ny x y ds x ds ds x σ τ τ σ ⎧ ∂∂ ∂ = + =+ = ⎪ ⎪ ∂ ∂∂ ∂ ⎨ ⎪ ∂ ∂ ∂ = + =− − =− ⎪ ⎩ ∂ ∂∂ ∂ 写成复数形式，并将将 , U U x y ∂ ∂ ∂ ∂ 的复数表示代入，得 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n n U U X iY ds id i id z z z z x y ϕ ϕψ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + =− + =− + + ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ (9.13) 记 , F F x y 为面力分量 , Xn n Y 在弧 P Pp0 上的合力，则有 0 0 ( ) [ ( ) ( ) ( )] P P x y nn P P F iF X iY ds i z z z z + = + =− + + ϕ ϕψ ′ ∫ (9.14) 再将边界 P Pp0 上面力对坐标原点取矩，有 0 0 ( ) P P n n P P U U M xY yX ds xd yd x y ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ = − =− + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ，分部积分后得