第5期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·631· 代”，同样会有悖论，集合论ZF系统中也没有禁止 那么N·是不完全的4。 “自指代”，ZF系统根本防止不了悖论，同样会产生 14)设从N可证的公式Gdel数全体构成的集 悖论。 合记为TH={g(P)INP},若N无矛盾，则TH “不动项定理”表明，解释清晰后的“悖论”，不 是非递归集合[4。 但无害，反而有益。无害是因为，悖论是U外项命 15)所有N中的恒真公式Godel数全体构成的 题，不会对原有的集合U上的演算产生破坏：有益 集合记为TR={g(P)II PIN=1},则TR是非递 是因为，悖论命题是U外的一种未定义命题，可能 归集合[4。 是U外的一种新知，这给科学发现指明了一种探求 16)(Tarski定理)TR不是算术集合[4。 方向。 “不动项定理”还表明，经典逻辑只适用于已经 《数理逻辑》中以此定理为基础的演绎理论都 定义的集合，不动项矛盾（悖论）不能作为“反证法” 是错误的。 在已定义的集合上的推理依据。可以检查一下，以 除此以外，以往的数学证明中，还存在大量“反 往的数学证明中，哪些“反证法”证明使用了不动项 证法”证明使用了不动项矛盾，或者使用对角线证 矛盾，这些证明都是错误的，这里我检查了一些证 明方法。这值得认真梳理与清理，这将包括哲学、递 明，把一些错误的证明结果列表如下： 归论、模型论、证明论、计算机理论、实变函数论等众 1)(Gdel不完全定理)如果系统N是w一致 多科学领域，也许，大家难以相信，这些证明都是错 的，那么，存在公式u不是N的定理，且一μ也不是 误的。 N的定理。即：系统N是不完全的)。 注论文(I)、(Ⅱ)有大量省略，原稿有更详细论证， 2)任何充分丰富一致的系统，如果系统公理的 需要请与作者联系。 哥德尔数集合是递归集合，那么它是不完全的。特 参考文献： 别地，如果ZF一致的，那么它是不完全的。 3)停机问题是不可判定的，即：不存在算法对 [1]陈汝栋.不动点理论及应用[M].北京：国防工业出版 社.2012：1.4 以下问题类提供答案： [2]戴牧民，陈海燕.公理集合论导引[M].北京：科学出版 {Turing机Tn在输入n后是否会停机lm,n∈ 社，2011：15-17 N}2 [3]张金成.容纳矛盾的逻辑系统与悖论[J].系统智能学 4)不存在所有单变元递归函数的能行枚举)。 报，2012,7(3)：208-209. 5)自然数集合上存在非递归集合。 [4 HAMILTON A G.Logic for Mathematicians D ]Cam- 6)自然数集合上存在非递归函数。 bridge:University of Cambridge,1978:29-40,82-92. 7)自然数集合上存在半递归谓词（存在递归可 [5]李未.数理逻辑[M].北京：科学出版社.2008：105-110. 枚举集合)。 [6]张立昂.可计算性与计算的复杂性[M].北京：北京大学 出版社，2011：80-85. 8)(Cantor定理)如果PM为M的幂集，且M~ PM,则存在T,TCM,且T主PM。无穷集合的幂 [7]克林SC.元数学导论[M].莫绍揆，译.北京：科学出版 社，1984：4-12. 集不可数)。 [8]何华灿.泛逻辑学原理[M]北京：科学出版社，2001：1- 9)自然数集合与它的幂集合不可能建立一一 15. 映射关系。即：自然数集合的幂集不可数[)。 [9]Boolos.可计算性与数理逻辑[M].北京：电子工业出版 10)自然数集合与实数集合不可能建立一一映 社，2002：152-160. 射关系。即：实数集合不可数。 [10]汪芳庭.数理逻辑[M].北京：科学出版社，2001159- 163. 11)对任何集合M,M<PM(任何集合的基数 作者简介： 小于其幂集的基数)。即：超穷数存在，层次无穷存 张金成，男，1966年生，主要研究 在； 方向为悖论、数理逻辑、数学基础、可 12)(Cantor连续统假设)在公。与2x。之间不 计算理论，发表学术论文13篇。 存在任何基数。 13)(Gdel-Rosser定理)W的任何递归无矛盾 扩张N·都不完备。即：如果N·是系统N一致的扩 充，并且N·系统公理的哥德尔数集合是递归集合，代”，同样会有悖论，集合论 ＺＦ 系统中也没有禁止 “自指代”，ＺＦ 系统根本防止不了悖论，同样会产生 悖论。 “不动项定理”表明，解释清晰后的“悖论”，不 但无害，反而有益。 无害是因为，悖论是 Ｕ 外项命 题，不会对原有的集合 Ｕ 上的演算产生破坏；有益 是因为，悖论命题是 Ｕ 外的一种未定义命题，可能 是 Ｕ 外的一种新知，这给科学发现指明了一种探求 方向。 “不动项定理”还表明，经典逻辑只适用于已经 定义的集合，不动项矛盾（悖论）不能作为“反证法” 在已定义的集合上的推理依据。 可以检查一下，以 往的数学证明中，哪些“反证法”证明使用了不动项 矛盾，这些证明都是错误的，这里我检查了一些证 明，把一些错误的证明结果列表如下： １）（Ｇöｄｅｌ 不完全定理） 如果系统 Ｎ 是 ω 一致 的，那么，存在公式 μ 不是 Ｎ 的定理，且 ¬ μ 也不是 Ｎ 的定理。 即：系统 Ｎ 是不完全的［２］ 。 ２）任何充分丰富一致的系统，如果系统公理的 哥德尔数集合是递归集合，那么它是不完全的。 特 别地，如果 ＺＦ 一致的，那么它是不完全的［２］ 。 ３）停机问题是不可判定的，即：不存在算法对 以下问题类提供答案： ｛Ｔｕｒｉｎｇ 机 Ｔｍ 在输入 ｎ 后是否会停机 ｜ ｍ，ｎ ∈ Ｎ ｝ ［２］ 。 ４）不存在所有单变元递归函数的能行枚举［２］ 。 ５）自然数集合上存在非递归集合。 ６）自然数集合上存在非递归函数。 ７）自然数集合上存在半递归谓词（存在递归可 枚举集合）。 ８）（Ｃａｎｔｏｒ 定理）如果 ＰＭ 为 Ｍ 的幂集，且 Ｍ ～ ＰＭ ，则存在 Ｔ ， Ｔ⊆Ｍ ，且 Ｔ∉ＰＭ 。 无穷集合的幂 集不可数［３］ 。 ９）自然数集合与它的幂集合不可能建立一一 映射关系。 即：自然数集合的幂集不可数［３］ 。 １０）自然数集合与实数集合不可能建立一一映 射关系。 即：实数集合不可数［３］ 。 １１）对任何集合 Ｍ ， Ｍ － ＜ ＰＭ （任何集合的基数 小于其幂集的基数）。 即：超穷数存在，层次无穷存 在［３］ ； １２）（Ｃａｎｔｏｒ 连续统假设）在 􀰲０ 与 ２ 􀰲０ 之间不 存在任何基数。 １３） （Ｇöｄｅｌ⁃Ｒｏｓｓｅｒ 定理） Ｎ 的任何递归无矛盾 扩张 Ｎ ∗ 都不完备。 即：如果 Ｎ ∗ 是系统 Ｎ 一致的扩 充，并且 Ｎ ∗ 系统公理的哥德尔数集合是递归集合， 那么 Ｎ ∗ 是不完全的［４］ 。 １４）设从 Ｎ 可证的公式 Ｇöｄｅｌ 数全体构成的集 合记为 ＴＨ ＝ {ｇ（Ｐ） ｜ Ｎ├Ｐ} ，若 Ｎ 无矛盾，则 ＴＨ 是非递归集合［４］ 。 １５）所有 Ｎ 中的恒真公式 Ｇöｄｅｌ 数全体构成的 集合记为 ＴＲ ＝ ｇ（Ｐ） ｜ ｜ Ｐ ｜ Ｎ { ＝ １} ，则 ＴＲ 是非递 归集合［４］ 。 １６）（Ｔａｒｓｋｉ 定理） ＴＲ 不是算术集合［４］ 。 … 《数理逻辑》 中以此定理为基础的演绎理论都 是错误的。 除此以外，以往的数学证明中，还存在大量“反 证法”证明使用了不动项矛盾，或者使用对角线证 明方法。 这值得认真梳理与清理，这将包括哲学、递 归论、模型论、证明论、计算机理论、实变函数论等众 多科学领域，也许，大家难以相信，这些证明都是错 误的。 注 论文（Ⅰ）、（Ⅱ）有大量省略，原稿有更详细论证， 需要请与作者联系。 参考文献： ［１］陈汝栋． 不动点理论及应用 ［Ｍ］．北京：国防工业出版 社，２０１２：１⁃４． ［２］戴牧民，陈海燕．公理集合论导引［Ｍ］．北京：科学出版 社，２０１１：１５⁃１７． ［３］张金成． 容纳矛盾的逻辑系统与悖论 ［ Ｊ］． 系统智能学 报，２０１２，７（３）：２０８⁃２０９． ［４］ ＨＡＭＩＬＴＯＮ Ａ Ｇ． Ｌｏｇｉｃ ｆｏｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ［ Ｄ］． Ｃａｍ⁃ ｂｒｉｄｇｅ： Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， １９７８：２９⁃４０，８２⁃９２． ［５］李未．数理逻辑 ［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８：１０５⁃１１０． ［６］张立昂．可计算性与计算的复杂性 ［Ｍ］．北京：北京大学 出版社，２０１１：８０⁃８５． ［７］克林 Ｓ Ｃ． 元数学导论［Ｍ］． 莫绍揆，译．北京：科学出版 社，１９８４：４⁃１２． ［８］何华灿． 泛逻辑学原理 ［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１：１⁃ １５． ［９］Ｂｏｏｌｏｓ． 可计算性与数理逻辑 ［Ｍ］． 北京： 电子工业出版 社，２００２：１５２⁃１６０． ［１０］汪芳庭．数理逻辑 ［Ｍ］． 北京：科学出版社，２００１：１５９⁃ １６３． 作者简介： 张金成，男，１９６６ 年生，主要研究 方向为悖论、数理逻辑、数学基础 、可 计算理论，发表学术论文 １３ 篇。 第 ５ 期 张金成，等：逻辑及数学演算中的不动项与不可判定命题（Ⅱ） ·６３１·