1Lw,w(Q)中的省略型定理 定理1.1（省略型定理）：令L(Q)是Lw1w(Q)的一个可数片断，令T是L4(Q)的一个 命题集，对每一n<,中，(x1,…,x)是L4(Q)的公式集合，自由变元在{x,:1<i一r.} 中，假设： (1)T有一个模型(A,q), (2)对Vn<w和所有L(Q)巾的公式(x1,…,x,),如果TU{3x1,x,.种}有 一个榄型，那么存在b∈中，使T{3x1,,x,.（中八)}有一个模型。 那么有模型(A,q):(A,9)满足T,(A,q)满足AVx1,…x,V中。 证明：令M(Q)是把L(Q)中所有公式的有限多白由变元换为C中元素后得到的所有 公式的集合(LUC=M如文献C1)中所定义)。令S是所有形式如下的S,的集合： S,=SnT刂{V中(C,,C,):n<w,c,∈C}记{VΦ.(c1…,c,.):m<w, c,∈C}为g。其中S。是M(Q)中的命题集。S。=SU{Qx中1(x),,Qxφ，(x),~ Qx.+1(x),,~Qxφ+m(x)}U{p1(c)lc∈t:}U…U{p,(c)|c∈t.}U{~p.+1 (c)!C∈t,1}l…月{~p.+.(c)川c∈t.+n}。S=SgU{Qxp(x),,~Qxp.m (x)},Sn只有C中有限多个元素。t,∩t,=中，t,gs,主j,1i,j≤n:,t,n+1s≤j n+m是(C)中（参考〔1）)S,型集合。C={c/c在5o中出现，c∈C},t:∩C=中，1≤ 行n+m。 这里要求SoUT有模型，|C-(c1t1…t,)=w。 下面证明S是一个和谐性质。 (c1)若p,~p∈5，，由SUT有模型，没有P,~p∈SUT。由~p的形式， ~p使a,只能有p∈0，~p∈SUT,从而0为V(C,1,…,C,)的形状，由s,定义知， 这时TU{~p(C,、·,C,)}有模型。由定理所设(2)，可知存在pF中，使TA3x,1, x,（~p(x,1’",x,)AP(x,1,,x,))有模型，矛盾。没有p,~pES,(C1)成立。 ~p,ヨxp,八中，V×p,Qxp(x),~Qxp(x)属于s,时，由于它们没有o中公式的形 式，必属于soJT。由S。刂T有模型，象完金性定理证明一样可证(Cz),(C3),(C),(Cs), (Ca),(C,),(C)成立。我们例证(C8): (C)~Qxp(x)∈s:,由上述~Qxp(x)∈sg刂To,取s.,使s.∩C=中，易见s.存作，证明 sJTU{~p(c)1rC,}有模型。则有TAA6一V1.~p1c)Vp.e)VV p..(c)Vp (c)V..VV (-p.(c)/p..(c)V..Vo..(c)/V rt。ns。 c.-t,p1(c) V…/p.m(c)Vp(c)恒真。这里s6=s。-U。{~p(c),p1(),…,p.(c). ~p。1,~pwm(c)}。,x)=~p1(x)Vp.1(x)V…/n(x)'p(x),…,的，(x) ·196·， 中的省略型定理 定 理 省 略型定理 令 ， 旧 是 二 二 的一 个可数片断 ， 令 是 ， 的一 个 命 题集 ， 对 依一 ” 功 ， 巾 ， ， 一 ， ， 是 ， 的公式 集合 ， 自由变元 在 ‘ ， 了 一 尸 。 中 ， 假设 有一 个模 型 ， 口 ， 对 和 所有 ， 旧 中的公 式功 ， … ， 二 ， ， 如 果 日 习 ， … ， 功 右 一 个 模型 ， 那 么存 在苗任 小 ， 使 〕 ，， … ， 尸 护八妇 有一 个模型 。 那 么有模 型 ， 妇 ， 妇 满 足 ， ， 满 足 八 ， ” · 二 ， 小 。 。 证 明 令 ， 是 把 ， 中所有公式 的有限 多 自由变元换 为 中元素后 得到 的所 右 公 式 的 集合 二 如文献 〔 〕 中所定 义 。 令 是 所有形式 如 下的夕 ‘ ，集合 、 ” 。 ’ 一 ’ 由 ， ， ， … ， ， 。 ” 功 ， “ 记 巾 ，· … ， 二 ” ， ， ‘ 〔 为。 。 其 中 。 是 ， 中的 命 题 集 。 。 二 言日 二 价 二 ， … ， 二 功 ， 一 功 ， 、 ， … ， 一 价 。 。 二 尹 〔 工 口 … 必 ， 〔 一 钾 任 。 ， ， … 一 功 。 任 ， 、 。 扩 一 二 功 ， … ， ‘ 办 。 十 ， ， 。 只 有 「飞 有限 多个元 素 。 ‘ 自 ， 二 功 ， ‘ 住叮， ， ’今 ， 了 ￡ ， 镇 。 ‘ ， ，， ” 炙 了 。 ， 是 ‘ 参考〔 〕 夕 。 型集合 。 在 。 中出现 ， 〔 ， ‘ 自 必 ， 犷 一 叮 十 脚 。 这里要求 。 有模型 ， 】 一 ， 工 ’ ， 一 忆， ， 二 。 下面证明 是 一个和 谐性质 。 若 ， ， ， 〔 ‘ ， 由 。 有 模 型 ， 没 有 中 ， ， 厂夕 。 。 由 一 ， 的 形 式 ， 一 甲 健 ， 只 能有， 任叮 ， 一 甲 任 。 从而 为 巾 ， ，， … ， ， 。 的 形状 ， 由 “ ，定 义 知 ， 这 时 一 甲 ，， … ， ， 。 有模 型 。 由定理 所设 ， 可 知存 在 ‘ 小 使 八习 ， ， … ， ， 一 ‘ ， ， … ， ， 八户 ‘ ， ， … ， ， 有模型 ， 矛盾 。 ·，没 有尹 ， 一 甲 〔 成立 。 一 甲 ， 日 甲 ， 八巾 ， 二 甲 ， 甲 二 ， 甲 属 于 ‘ 时 ， 由于它 们没 有， 中公式的形 式 ， 必 属干 。 口 。 由 。 ’ 有模 型 ， 象 完 全性 定理 证 明 一样可 证 ， ， ， 。 ， 。 ， ， 。 成 立 。 我 们例证 。 ， 一 甲 〔 ， 、 ， 由上 述 一 ， 任 。 ’ 。 ， 取 。 ， 使 。 门 必 ， 易见 。 存 在 ， 证 明 「 口 日 一 ， 」。 〔 、 。 有 模 型 。 否 则有 八 八 、 言 一 甲 。 丫 势 ， 一 ， 丫 ” · 丫 ‘ 亡 一门 叼 。 甲 ， ， 丫 切 “ 丫 一 甲 ， 丫 甲 ， 丫… 切 ， 、 。 丫 甲 ， ‘ ‘ 。 几‘ 。 一 ‘ 。 一 ， 一 孟 。 … 丫 甲 ‘ ，。 。 丫切 。 恒真 。 这 里 、 言 。 一 日 一 甲 。 ， 甲 。 ， … ， 甲 。 。 一 尹 。 ， … ， 一 甲 ， 。 冬 。 幼 ， 二 一 甲 ， 丫 甲 ， · 丫 一 丫 ， ‘ ， 丫 卯 ， “ · ， 砂