5.设y为可微函数,r=(x,y,2),r=|r,求 grad(r),div(y(r)r), rot(o(r)r) 6.求向量场F=(-0,x,2)沿曲线L的环流量: (1)L为Oxy平面上的圆周x2+y2=1,z=0,逆时针方向; (2)L为Oxy平面上的圆周(x-2)2+y2=R2,z=0,逆时针方向; (3)L为Ory平面上任一逐段光滑简单闭曲线,它围成的平面区域D的 面积为S.证明F沿L的环流量为2S. (4)设有一平面丌:ax+b+cx=d(c≠0),取π为上侧,x上有一逐段 光滑简单闭曲线L,其方向关于π为正向.L围成的平面区域的面积为S, 问F沿L的环流量是什么? 7.求向量场F= grad(arctan2)沿曲线L的环流量: (1)L不环绕轴 (2)L环绕轴一圈 (3)L环绕轴n圈 8.设向量场F={P,Q,R}在除原点(0,0,0)外有连续的偏导数,在球 面x2+y2+2=t2上F的长度保持一固定值,F的方向与矢径r=(x,y,2)相 同,而且F的散度恒为零,证明此向量场为F=r(k是常数) 9.设有一数量场u=(x,y,x),除(0、0、0)点外有连续偏导数,其等值面 是以原点为中心的球面.又数量场的梯度场的散度为零,证明此数量场 与(r=√2+y2+2)仅差一个常数,其中c1为某固定常数 10.设G是空间开区域,u=(x,y,2)在G上有二阶连续偏导数.证 明u=(x,y,2)在G内调和的充要条件是对G内任意简单分片光滑曲面S,都5．设ϕ为可微函数，r = (x, y, z), r = |r|，求gradϕ(r)，div (ϕ(r)r)， rot(ϕ(r)r)． 6．求向量场F = (−y, x, z)沿曲线L的环流量： (1) L为Oxy平面上的圆周x 2 + y 2 = 1，z = 0，逆时针方向； (2) L为Oxy平面上的圆周(x − 2)2 + y 2 = R2，z = 0，逆时针方向； (3) L为Oxy平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域D的 面积为S．证明F沿L的环流量为2S． (4) 设有一平面π : ax + by + cz = d(c 6= 0)，取π为上侧，π上有一逐段 光滑简单闭曲线L，其方向关于π为正向．L围成的平面区域的面积为S， 问F沿L的环流量是什么？ 7．求向量场F = grad(arctan y x )沿曲线L的环流量： (1) L不环绕z轴； (2) L环绕z轴一圈； (3) L环绕z轴n圈． 8．设向量场F = {P, Q, R}在除原点(0, 0, 0)外有连续的偏导数，在球 面x 2 + y 2 + z 2 = t 2上F的长度保持一固定值，F的方向与矢径r = (x, y, z)相 同，而且F的散度恒为零，证明此向量场为F = k r 3 r（k是常数）． 9．设有一数量场u = (x, y, z)，除(0,0,0)点外有连续偏导数，其等值面 是以原点为中心的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场 与c1 r (r = p x 2 + y 2 + z 2) 仅差一个常数，其中c1为某固定常数． 10．设G是空间开区域，u = (x, y, z)在G上有二阶连续偏导数．证 明u = (x, y, z)在G内调和的充要条件是对G内任意简单分片光滑曲面S，都 9