所以,f(41≥f(5)2 a+b 从而(x- f(r) If(51)-∫(52)(b-a)2≥0 a+b xf(x)d≥ f(r)dc 证法四] 因为∫(x)在[a,b上单调增,所以,Ⅵ,x∈[a,b有 (t-xlf(t)-f(x)≥0 固定x,对t积分,得 ∫.ot-xJ,/()+y(x)b-a)-(x),t≥0 即J.t-x」+x(xb-a)-(x)2(2-a)0 再对x积分,得 (b-a)f/(dt-3(b-a)/(dt +(b-a)3f(x)dr (b2-a2)f(x)d≥0 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质,得到 2b-a)∫yfxk-(b2-a2)J(x)≥0 a+b f(x)d≥ 2J,(r)dx 3.设∫(x)∈Cla,b,且对于满足」g(x)=0的任意连续函数p(x),都有 ∫:(x(x=0,证明:f(x)必恒为常数 证法一]利用积分中值定理,有 ∫.∫(x)=(b-a)/(5)=J(5h5la 于是,有」If(x)-f(5)x=0所以， 1 2 f ()  f () 从而 [ ( ) ( )]( ) 0 8 1 ) ( ) 2 ( 2 = 1 − 2 −  + −  f x dx f f b a a b x b a   即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法四] 因为 f ( x) 在 [a,b] 上单调增，所以， t ， x [a,b] 有 (t − x)[ f (t) − f (x)]  0 固定 x ，对 t 积分，得 ( ) − ( ) + ( )( − ) − ( )  0    b a b a b a t f t dt x f t dt xf x b a f x tdt 即 ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 − + − − −    t f t dt x f t dt xf x b a f x b a b a b a 再对 x 积分，得 ( ) ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 − −  − − − + −     b a b a b a b a b a f x dx b a t f t dt b a f t dt b a xf x dx 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 − − −    b a b a b a xf x dx b a f x dx 即   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) 3． 设 f (x)  C[a,b] ， 且 对 于 满 足 ( ) = 0  b a  x dx 的任意连续函数 (x) , 都 有 ( ) ( ) = 0  b a f x  x dx ，证明： f ( x) 必恒为常数. [证法一] 利用积分中值定理，有   = − = b a b a f (x)dx (b a) f ( ) f ( )dx  [a,b] 于是，有 [ ( ) − ( )] = 0  b a f x f  dx