·274. 智能系统学报 第10卷 语言形式定性描述的属性值，目前主要有主成分分 体构成一个完备半序格，从而为粒计算提供了一种 析法[]、离差最大化方法[34」、均方差法[s]、多目标 有力的数学模型和工具190]。模糊商空间理论能 规划法[6]、信息嫡法[8】、聚类分析法[】、粗糙集方 够更好地反映人类处理不确定问题的若干特点，即 法[o】、灰色关联分析方法[门等客观赋权法。 信息的确定与不确定、概念的清晰与模糊都是相对 对于没有任何先验信息，属性值为连续值且无 的，都与问题的粒度粗细有关。 单一决策属性的多属性决策问题，一些文献提出了 定义119】设X是论域，X上的一个模糊集A 基于模糊聚类和粗糙集的客观赋权法[5)。其核 是指Hx∈X,有一个指定的数u4∈[0,1]，称为x 心是根据样本集的属性进行模糊聚类，以没有删除 对A的隶属程度，映射：u4:X一[0,1]，x→u(x) 任何属性的分类为基准，把没有删除任何一个属性 称为A的隶属函数。令T(X)表示X上一切模糊子 视为一种知识分类，将删除各个属性后视为另一种 集的集合，则T(X)实际上是由u:X→[0,1]这个 知识分类，计算删除各属性后的分类相对于总的属 函数组成的函数空间。 性分类的正域，从而求得各个属性的重要程度，最后 定义2[19]设R∈T(X×X),若满足 利用归一化方法来确定各属性的权重。该方法没有 1)x∈X,R(x,x)=1, 客观信息的损失，具有一定的普遍性，但该方法存在 2)Vx,y E X,R(x,y)=R(y,x), 以下不足：即如果样本集有m个属性，则需要进行 3)Hx,y,z∈X,R(x,z)≥sup,(min(R(x,y）, m+1次模糊聚类计算（其中包括计算量很大的模糊 R(y,z)), 相似度计算以及求出模糊等价矩阵的传递闭包计 则称R是X上的一个模糊等价关系。 算)，因此当属性数量和样本数量较多时，该方法的 命题11]设R是X上的一个模糊等价关系， 计算过程比较繁琐，一定程度上影响了其实用性。 令R={(x,y)IR(x,y)≥入}，0≤入≤1，则R,是 粒计算理论是目前人工智能研究领域的新热 X上的一个普通等价关系，称R,为R的截关系。令 点，其理论模型主要分为2类：1)以处理不确定性 等价关系R对应的商空间为X(入)，可得到如下性 为主要目标，如以模糊集（也称词计算）理论和粗糙 质：若0≤入2≤A1≤1台R,>R,台X(A2)是 集理论为基础的模型：2)以多粒度计算为目标，如 X(入，)的商集。于是，商空间族{X(入)I0≤入≤ 商空间理论1618]。这2类模型的侧重点有所不 1}按照商集的包含关系构成一个有序链，称 同，前者侧重于计算对象的不确定性处理，因此重点 {X(入)10≤入≤1}为X上的一个分层递阶结构。 关注于含糊、不清晰概念的表达和近似推理：而后者 命题21】给定X上的一个模糊等价关系，则 的核心思想来源于人类问题求解的基本特征之一， 对应一个X上的分层递阶结构。 即从极不相同的粒度空间上观察和分析同一问题， 1.2 粗糙集理论 并很容易地从一个抽象的粒度空间转换到其他的粒 粗糙集理论是一种处理模糊性和不精确性问题 度空间，也就是分层次地处理问题的能力，因此更关 的数学工具212]。其本质思想是利用等价关系 注于如何从不同粗细粒度的问题空间，即从不同的 (不可分辨关系)建立论域的一个划分，得到不可区 层次得到对问题不同角度的理解，并最终综合成对 分的等价类，从而构建一个近似空间。在此近似空 问题总的理解。 间上，用精确的上近似集和下近似集来逼近一个边 本文基于2类粒计算理论模型的思想，同样针 界模糊的集合。 对属性值为连续值且无单一决策属性的多属性决策 定义32】给定一个信息系统S=(U,A,V, 问题，提出了一种融合模糊商空间理论和粗糙集理 力，其中U为研究对象的非空有限集合，称为论域： 论的客观赋权法，以期在现有研究的基础上，在保证 A为属性的非空有限集合，A=CUD,其中C为条 权重确定过程合理性的前提下，降低计算复杂度，进 件属性集，D为决策属性集：V是属性值的集合，V= 一步提高计算结果的准确性和方法的实用性。 UV。,'。是属性a的值域：f为信息函数，f:U×A→ V,它为每个对象的每个属性赋予信息值。对于每 1 粒计算理论基础 个子集XSU和一个等价关系R∈ind(S),称 1.1模糊商空间理论 R(X)=U{Y:∈U/RI YCX为X的R下近似集。 模糊商空间理论是将模糊集合论引入经典商空 定义421】条件属性集C与决策属性集D之 间理论，利用模糊等价关系将精确粒度下的商空间 间的依赖程度y(C,D)定义为 理论推广到模糊粒度计算中，且所有模糊商空间全 y(C,D)=POS(D)/U (1)语言形式定性描述的属性值，目前主要有主成分分 析法［２］ 、离差最大化方法［ ３ ⁃４ ］ 、均方差法［ ５ ］ 、多目标 规划法［ ６ ］ 、信息熵法［ ７⁃８ ］ 、聚类分析法［ ９ ］ 、粗糙集方 法［ １０ ］ 、灰色关联分析方法［ １１ ］等客观赋权法。 对于没有任何先验信息，属性值为连续值且无 单一决策属性的多属性决策问题，一些文献提出了 基于模糊聚类和粗糙集的客观赋权法［ １２ ⁃ １５ ］ 。 其核 心是根据样本集的属性进行模糊聚类，以没有删除 任何属性的分类为基准，把没有删除任何一个属性 视为一种知识分类，将删除各个属性后视为另一种 知识分类，计算删除各属性后的分类相对于总的属 性分类的正域，从而求得各个属性的重要程度，最后 利用归一化方法来确定各属性的权重。 该方法没有 客观信息的损失，具有一定的普遍性，但该方法存在 以下不足：即如果样本集有 ｍ 个属性，则需要进行 ｍ＋１ 次模糊聚类计算（其中包括计算量很大的模糊 相似度计算以及求出模糊等价矩阵的传递闭包计 算），因此当属性数量和样本数量较多时，该方法的 计算过程比较繁琐，一定程度上影响了其实用性。 粒计算理论是目前人工智能研究领域的新热 点，其理论模型主要分为 ２ 类：１） 以处理不确定性 为主要目标，如以模糊集（也称词计算）理论和粗糙 集理论为基础的模型；２） 以多粒度计算为目标，如 商空间理论［ １ ６ ⁃ １ ８ ］ 。 这 ２ 类模型的侧重点有所不 同，前者侧重于计算对象的不确定性处理，因此重点 关注于含糊、不清晰概念的表达和近似推理；而后者 的核心思想来源于人类问题求解的基本特征之一， 即从极不相同的粒度空间上观察和分析同一问题， 并很容易地从一个抽象的粒度空间转换到其他的粒 度空间，也就是分层次地处理问题的能力，因此更关 注于如何从不同粗细粒度的问题空间，即从不同的 层次得到对问题不同角度的理解，并最终综合成对 问题总的理解。 本文基于 ２ 类粒计算理论模型的思想，同样针 对属性值为连续值且无单一决策属性的多属性决策 问题，提出了一种融合模糊商空间理论和粗糙集理 论的客观赋权法，以期在现有研究的基础上，在保证 权重确定过程合理性的前提下，降低计算复杂度，进 一步提高计算结果的准确性和方法的实用性。 １ 粒计算理论基础 １．１ 模糊商空间理论 模糊商空间理论是将模糊集合论引入经典商空 间理论，利用模糊等价关系将精确粒度下的商空间 理论推广到模糊粒度计算中，且所有模糊商空间全 体构成一个完备半序格，从而为粒计算提供了一种 有力的数学模型和工具［ １ ９ ⁃ ２０ ］ 。 模糊商空间理论能 够更好地反映人类处理不确定问题的若干特点，即 信息的确定与不确定、概念的清晰与模糊都是相对 的，都与问题的粒度粗细有关。 定义 １ ［ １ ９ ］ 设 Ｘ 是论域，Ｘ 上的一个模糊集 Ａ 是指 ∀ｘ ∈ Ｘ， 有一个指定的数 μＡ ∈ ［０，１］， 称为 ｘ 对 Ａ 的隶属程度，映射： μＡ ：Ｘ → ［０，１］，ｘ → μＡ（ｘ） 称为 Ａ 的隶属函数。 令 Ｔ（Ｘ） 表示 Ｘ 上一切模糊子 集的集合，则 Ｔ（Ｘ） 实际上是由 μ：Ｘ → ［０，１］ 这个 函数组成的函数空间。 定义 ２ ［ １ ９ ］ 设 Ｒ ∈ Ｔ（Ｘ × Ｘ）， 若满足 １） ∀ｘ ∈ Ｘ，Ｒ（ｘ，ｘ） ＝ １， ２） ∀ｘ，ｙ ∈ Ｘ，Ｒ（ｘ，ｙ） ＝ Ｒ（ｙ，ｘ）， ３） ∀ｘ，ｙ，ｚ ∈ Ｘ， Ｒ（ｘ，ｚ） ≥ ｓｕｐｙ（ｍｉｎ（Ｒ（ｘ，ｙ）， Ｒ（ｙ，ｚ））， 则称 Ｒ 是 Ｘ 上的一个模糊等价关系。 命题 １ ［ １ ９ ］ 设 Ｒ 是 Ｘ 上的一个模糊等价关系， 令 Ｒλ ＝ ｛（ｘ，ｙ） ｜ Ｒ（ｘ，ｙ） ≥ λ｝，０ ≤ λ ≤１， 则 Ｒλ 是 Ｘ 上的一个普通等价关系，称 Ｒλ 为 Ｒ 的截关系。 令 等价关系 Ｒλ 对应的商空间为 Ｘ（λ）， 可得到如下性 质：若 ０ ≤ λ２ ≤ λ１ ≤ １⇔Ｒλ１ ＞ Ｒλ２⇔Ｘ（λ２ ） 是 Ｘ（λ１ ） 的商集。 于是，商空间族 ｛Ｘ（λ） ｜ ０ ≤ λ ≤ １｝ 按 照 商 集 的 包 含 关 系 构 成 一 个 有 序 链， 称 ｛Ｘ（λ） ｜ ０ ≤ λ ≤ １｝ 为 Ｘ 上的一个分层递阶结构。 命题 ２ ［ １ ９ ］ 给定 Ｘ 上的一个模糊等价关系，则 对应一个 Ｘ 上的分层递阶结构。 １．２ 粗糙集理论 粗糙集理论是一种处理模糊性和不精确性问题 的数学工具［ ２１ ⁃ ２２ ］ 。 其本质思想是利用等价关系 （不可分辨关系）建立论域的一个划分，得到不可区 分的等价类，从而构建一个近似空间。 在此近似空 间上，用精确的上近似集和下近似集来逼近一个边 界模糊的集合。 定义 ３ ［ ２１ ］ 给定一个信息系统 Ｓ ＝ 〈Ｕ，Ａ，Ｖ， ｆ〉， 其中 Ｕ 为研究对象的非空有限集合，称为论域； Ａ 为属性的非空有限集合， Ａ ＝ Ｃ ∪ Ｄ， 其中 Ｃ 为条 件属性集，Ｄ 为决策属性集；Ｖ 是属性值的集合， Ｖ ＝ ∪ａ∈Ａ Ｖａ ， Ｖａ 是属性 ａ 的值域；ｆ 为信息函数， ｆ：Ｕ × Ａ→ Ｖ， 它为每个对象的每个属性赋予信息值。 对于每 个子集 Ｘ ⊆ Ｕ 和一个等价关系 Ｒ ∈ ｉｎｄ（Ｓ）， 称 Ｒ＿ （Ｘ） ＝ ∪｛Ｙｉ ∈Ｕ／ Ｒ ｜ Ｙｉ ⊆Ｘ｝ 为 Ｘ 的 Ｒ 下近似集。 定义 ４ ［ ２１ ］ 条件属性集 Ｃ 与决策属性集 Ｄ 之 间的依赖程度 γ（Ｃ，Ｄ） 定义为 γ（Ｃ，Ｄ） ＝ ＰＯＳＣ（Ｄ） ／ Ｕ （１） ·２７４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷