进一步思路 点表示定理 个问题可能有多种等价表示方法。而不 同的表示方法对思考、解决问题有极大的 影 =Ax对于k=0 ·我们可以从各种角度去观察、度量一个物 体,只要我们的观察数据可以完全唯一地 反映这个物体的本身,我们就可以认为这 些度量就是这个物体的一个表示。 证明 Vandermonde矩阵 Vandermonde矩阵 ∏x-x) Vo xi x8-1 eterminant【行列 a1 式】不为零 r2 和系数表示是等价 式 Lagrange公式分析 由此引发问题 复杂度(n2) 科学计算需要注意的问题 稳定性:如果点选择不好,结果会非常 一正确性 精确度 截断误差 计算溢出 差放大3 进一步思路 • 一个问题可能有 多种等价表示方法。而不 同的表示方法对思考、解决问题有极大的 影响。 • 我们可以从各种角度去观察、度量一个物 体，只要我们的观察数据可以完全唯一地 反映这个物体的本身，我们就可以认为这 些度量就是这个物体的一个表示。 点表示定理 • 对于 {(x0, y0), (x1, y1), . . ., (xn-1, yn-1)} 存在 唯一 幂次的上界为n的多项式A(x) 使得 • yk = A(xk) 对于 k = 0, 1, . . ., n – 1成立. 证明： Vandermonde Vandermonde 矩阵 • 上面提到的矩阵是 Vandermonde 矩阵， 它可逆，其 determinant【行列 式】不为零。 • 以上事实表明，点表 示和系数表示是等价 的。 • Lagrange公式： Lagrange Lagrange 公式分析 • 复杂度 θ(n2) • 稳定性：如果点选择不好，结果会非常 差！！！ 由此引发问题 • 科学计算需要注意的问题 – 正确性 – 稳定性 – 精确度 – 截断误差 – 舍入误差 – 计算溢出 – 误差放大 – ……