大纲编号：S081400X001 矩阵论 Matrix Theory 课程编号：S081400XJ001课程属性：学科基础课 学时/学分：40/2 预修课程：高等数学、线性代数 教学目的和要求： 本课程为士木工程学科硕士研究生的学科基础课。通过本课程的学习，使学生进一步掌 握矩阵Jordan标准形、矩阵分解、矩阵微积分、矩阵函数以及线性空间与线性变换等方面 的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生在有限维线性空间的框架下利用矩阵理论分析 和解决工程实际问题的能力，同时在抽象思推、逻辑推理、联想对比以及分析综合等方面提 高学生的数学素质。要求学生对课程内容有较系统的理解，掌握相关的基本概念、基本理论 和基本方法，并具有初步的应用能力。 内容提要。 第一章绪论 数域，一元多项式的基本概念，整除性，最大公因式，复数域上的标准分解，共轭矩阵， Hermite矩阵，Hermite二次型，西矩阵，矩阵的迹，矩阵的相似对角化与特征向量系的完 各性，矩阵的直积。 第二章矩阵的Jordan标准形 多项式矩阵的秩，方阵可逆性，初等变换下的标准形式，行列式因子，不变因子，初等 因子，两多项式矩阵等价的充要条件，两数字方阵相似的充要条件，矩阵的Jordan标准形， 矩阵与其Jordan形间相似变换矩阵的求法，矩阵的致零多项式与最小多项式。 第三章线性空间与线性变换 线性空间的定义，性质，基与维数，坐标，基变换与坐标变换，线性变换及其运算，线 性变换的矩阵，线性子空间，子空间的和与直和，不变子空间。 第四章内积空间 内积空间的定义，性质，标准正交基，Schmid血正交化方法，欧氏空间的度量矩阵，正 交子空间，正交变换与对称变换，西空间。 第五章矩阵分解与广义逆 矩阵的正交三角分解，满秩分解，谱分解，正规矩阵及其分解，奇异值分解，矩阵的 M-P广义逆。 第六章向量与矩阵的范数 向量范数定义，常用的几种向量范数，向量范数的等价性，矩阵范数的定义，乘法相容 性，与向量范数的相容性，由向量范数导出的矩阵范数，列和范数，行和范数，谱范数， F范数 数的等价性，矩阵的测度及其性质，范数应用举例 第七章矩阵分析 向量序列与矩阵序列的收敛性，函数矩阵对变量的导数，函数对矩阵的导数，矩阵对矩 阵的导数，矩阵的微分与积分，矩阵级数的收敛性，矩阵幂级数的收敛性。 第八章矩阵函数及其应用 用幂级数表示的矩阵函数，矩阵多项式的计算， 一般矩阵函数的定义及性质，利用Jordar 形计算矩阵函数 利用Lagrange-Sylvester插值多项式计算矩阵函数，利用矩阵函数求解 阶常系数微分方程组的初值问题。 大纲编号：S081400XJ001 矩阵论 Matrix Theory 课程编号： S081400XJ001 课程属性：学科基础课 学时/学分：40/2 预修课程：高等数学、线性代数 教学目的和要求： 本课程为土木工程学科硕士研究生的学科基础课。通过本课程的学习，使学生进一步掌 握矩阵 Jordan 标准形、矩阵分解、矩阵微积分、矩阵函数以及线性空间与线性变换等方面 的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生在有限维线性空间的框架下利用矩阵理论分析 和解决工程实际问题的能力，同时在抽象思维、逻辑推理、联想对比以及分析综合等方面提 高学生的数学素质。要求学生对课程内容有较系统的理解，掌握相关的基本概念、基本理论 和基本方法，并具有初步的应用能力。 内容提要： 第一章 绪论 数域，一元多项式的基本概念，整除性，最大公因式，复数域上的标准分解，共轭矩阵， Hermite 矩阵，Hermite 二次型，酉矩阵，矩阵的迹，矩阵的相似对角化与特征向量系的完 备性，矩阵的直积。 第二章 矩阵的 Jordan 标准形 多项式矩阵的秩，方阵可逆性，初等变换下的标准形式，行列式因子，不变因子，初等 因子，两多项式矩阵等价的充要条件，两数字方阵相似的充要条件，矩阵的 Jordan 标准形， 矩阵与其 Jordan 形间相似变换矩阵的求法，矩阵的致零多项式与最小多项式。 第三章 线性空间与线性变换 线性空间的定义，性质，基与维数，坐标，基变换与坐标变换，线性变换及其运算，线 性变换的矩阵，线性子空间，子空间的和与直和，不变子空间。 第四章 内积空间 内积空间的定义，性质，标准正交基，Schmidt 正交化方法，欧氏空间的度量矩阵，正 交子空间，正交变换与对称变换，酉空间。 第五章 矩阵分解与广义逆 矩阵的正交三角分解，满秩分解，谱分解，正规矩阵及其分解，奇异值分解，矩阵的 M-P 广义逆。 第六章 向量与矩阵的范数 向量范数定义，常用的几种向量范数，向量范数的等价性，矩阵范数的定义，乘法相容 性，与向量范数的相容性，由向量范数导出的矩阵范数，列和范数，行和范数，谱范数， F-范数，矩阵范数的等价性，矩阵的测度及其性质，范数应用举例。 第七章 矩阵分析 向量序列与矩阵序列的收敛性，函数矩阵对变量的导数，函数对矩阵的导数，矩阵对矩 阵的导数，矩阵的微分与积分，矩阵级数的收敛性，矩阵幂级数的收敛性。 第八章 矩阵函数及其应用 用幂级数表示的矩阵函数，矩阵多项式的计算，一般矩阵函数的定义及性质，利用 Jordan 形计算矩阵函数，利用 Lagrange-Sylvester 插值多项式计算矩阵函数，利用矩阵函数求解一 阶常系数微分方程组的初值问题