文登学校 【分析】此类未定式极限,典型方法是用洛必塔法则,但分子分母求导前应先变形 详解】由于(x-0m=门(a-d)=(ah 于是 (x-1)f(1)dt f(r)dt-t(o)dt x→0 f(x-rdt =lin jo f(odt+xf(x)-xf(x) f(odt =lim f(udu +xf(x) x→0 f(udu+ xf(x) f(dt f(0)1 f(u)du f(0)+f(0)2 +f(x) 【评注】本题容易出现的错误是:在利用一次洛必塔法则后,继续用洛必塔法则 f(odt =lim f(x) Fudu+xf(x)o/(x)+/(x)+x'(x) 错误的原因:f(x)未必可导 完全类似处理方法见《数学复习指南》(理工类)P5【例10】 (16)(本题满分11分) 如图,C和C2分别是y=(1+e2)和y=e的图象,过点(n的曲线C3是一单调增 函数的图象过C2上任一点M(xy)分别作垂直于x轴和y轴的直线l2和记C1,C2与l2 所围图形的面积为S1(x):C2,C3与l所围图形的面积为S2(y)如果总有S1(x)=S2(y) 求曲线C3的方程x=(y) 【分析】利用定积分的几何意义可确定面积S(x)S2(y),再根据S(x)=S2(y)建立 积分等式,然后求导引出微分方程,最终可得所需函数关系 【详解】如图,有 S1(x)=te-(1e)=( S:(y)=∫-oo)bt, 由题设,得1x-1)=(mt-9()dn,文登学校 9 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于    − = − = − = 0 0 0 ( ) ( )( ) ( ) x x x x t u f x t dt f u du f u du ,于是      − = − − → → x x x x x x x x f u du x f t dt tf t dt x f x t dt x t f t dt 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim =   + + − → x x x f u du xf x f t dt xf x xf x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim =   + → x x x f u du xf x f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 f x x f u du x f t dt x x x +   → = . 2 1 (0) (0) (0) = f + f f 【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则   + → x x x f u du xf x f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim = . 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 = → f x + f x + xf  x f x x 错误的原因：f(x)未必可导. 完全类似处理方法见《数学复习指南》（理工类）P.5【例 10】 （16）（本题满分 11 分） 如图， C1 和 C2 分别是 (1 ) 2 1 x y = + e 和 x y = e 的图象，过点(0,1)的曲线 C3 是一单调增 函数的图象. 过 C2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 x l 和 y l . 记 1 2 C ,C 与 x l 所围图形的面积为 ( ) 1 S x ； 2 3 C ,C 与 y l 所围图形的面积为 ( ). 2 S y 如果总有 ( ) ( ) 1 2 S x = S y ， 求曲线 C3 的方程 x = ( y). 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积 ( ), ( ) 1 2 S x S y ，再根据 ( ) ( ) 1 2 S x = S y 建立 积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有  = − + = − − x t t x S x e e dt e x 0 1 ( 1) 2 1 (1 )] 2 1 ( ) [ ，  = − y S y t t dt 1 2 ( ) (ln ( )) ， 由题设，得  − − = − y x e x t t dt 1 ( 1) (ln ( )) 2 1 