有理函数的Fourier型广义积分 定理设P(z),Q(z)为实系数多项式，且degP(z)<degQ(z)(deg表示多项式的 次数)，Q(z)无实零点，ω>0，则如下广义积分收敛，且 +00 P(x P(z) Q(x eodx=2d Q(2) 这里z1,…,zk为Q(⑦)在上半平面内的零点全体.特别 +00 P(x) Q(x)cos wx dx =Re P(x) Q(x) eioxdx 00 L-00 +00 +00 P(x) P(x) sin wx dx Im Q(x) iωxdx Q(x) -00 00有理函数的Fourier型广义积分 定理 设 𝑃 𝑧 , 𝑄 𝑧 为实系数多项式，且 deg 𝑃 𝑧 < deg 𝑄 𝑧 （deg 表示多项式的 次数），𝑄 𝑧 无实零点，𝜔 > 0，则如下广义积分收敛，且 න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 𝑒 𝑖𝜔𝑥 d𝑥 = 2𝜋𝑖෍ 𝑗=1 𝑘 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑧 , 𝑧𝑗 , 这里 𝑧1 , … , 𝑧𝑘 为 𝑄 𝑧 在上半平面内的零点全体．特别 න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 cos 𝜔𝑥 d𝑥 = Re න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 𝑒 𝑖𝜔𝑥d𝑥 ， න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 sin 𝜔𝑥 d𝑥 = Im න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 𝑒 𝑖𝜔𝑥d𝑥 ．