14 I Green函数与偏微分方程 1,定义: Green函数(源函数,影响函数,传播函数,传播子) 数学上,含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解 物理上,点源在一定物理条件下产生的场。这种解(场)在时空中的分布与传播。 例1,无界空间 Possion equation: vlu=-4m(),∫v(G(r,r)=-4m6(7-F) Qul=0 IGl=0 →G(,F) u(r)=G(, r)p(r" )di 基本解-无界空间 Green函数的叠加( see below for the solution) 例2,无界空间 Helmholtz equation ∫(v2+)m=4m(,j(v2+)G(F,F)=-m6(7-P) uls=0 Gl=0 →u(F)=GG,F)p(F)d G(r, F): Field; P(r ) Source 例3,无界空间波动方程 u=pD(F,1),ul=0,u1=0,u11=0 o2-av2((,F)=(F-F)6(-)Gk=0.G=0Gl=0 在含时Gren函数G(r,t,r',1)中,为方便计,我们将它简记为G(r,F) 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation解的积分形式(在定解问题中求G) (V+λ)a=-4xp(),---(1) 设定解问题 (aun+Ba)l=f(,---(2) 对应于(V2+A)G(F,F)=-4z6(F-F),---(3) (aGn+BG)l=0(齐次边界条件)--(4) 假设G(F,F)已经求出,方法见143作算符运算:」[GF,P)E(1)-(Eq(得 IG(, r)u(r)-u(r)vG(, r)]dr=-4T[G(r, )P(r)-u(r)8(, r) ]dr 对上式左边利用Gas公式VF=乐F,A其中F=GVn,VG,可得如下的 Gren等式:∮G7v0)-)vG,=手(m-iG,过 See童裕孙等,高等数学下册,2nd版,PP154-156&PPl61-162 故有形式解G)= GU,,")p(dr+(:0D-m0xF(5)2 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， 无界空间 Possion Equation: 2 2 4 ( ), ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. 1 ( , ') = , ( ) ( , ') ( ')d '. | ' | u r G r r r r u G G r r u r G r r r r r r         = −  = − −      = =  = −  无界 基本解---无界空间 Green 函数的叠加（see below for the solution）. 例2， 无界空间 Helmholtz Equation： 2 2 ( ) 4 ( ), ( ) ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. ( ) ( , ') ( ')d ' (see below for the solution. ( , ') : Field; ( ') :Source). u r G r r r r u G u r G r r r r G r r r            + = −  + = − −      = =  =  例 3， 无界空间波动方程: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ), | 0, | 0, | 0. ( , ; ', ') ( ') ( '), | 0, | 0, | 0. t t t t t t a u r t u u u t a G r t r t r r t t G G G t           −  = = = =        −  = − − = = =      在含时 Green 函数 G r t r t ( , ; ', ') 中，为方便计，我们将它简记为 G r r ( , '). 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求 G ） 设定解问题: 2 2 ( ) 4 ( ), (1) ( ) | ( ), (2) ( ) ( , ') 4 ( '), (3) ( ) | 0.( (4) n n u r u u f G r r r r G G            + = − − − − + =  − − −  + = − − − − − + = − − 对应于 齐次边界条件) 假设 G r r ( , ') 已经求出，方法见 14.3.作算符运算： [ ( , ')Eq.(1) ( )Eq.(3)]d G r r u r r  −  得 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d 4 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d . G r r u r u r G r r r G r r r u r r r r       −  = − −   对上式左边利用Gauss公式 F r F n d d , ˆ    =     其中 F G u u G =   , , 可得如下的 Green 恒等式： 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d ( )d . G r r u r u r G r r r Gu uG n n    −  = −    See 童裕孙等，高等数学下册，2 nd 版，PP154-156&PP161-162. 故有形式解 1 ( ) ( , ') ( ') ( , ') ( )d ( , ') ( ) d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n        = + −          （5）