)L。)fx=m)[2)f,赵 lim(r) fdx=(广义R) fdx,证毕 对于瑕积分,同理可证类似的下述结果: 定理5.2.10设f(x)在[a,b)上定义的函数,b为f的暇点,当t∈(a,b 时,f(x)在[a,t上(R)可积,则f(x)在[a,b)上(L)可积<=〉|f(x)在[a,b)上(R 瑕积分有限,且(D),f=(R)L,fdx ,x为(O]中的无理数 例5.2.3设f(x)={2,x为(+∞)的无理数, arctan x2,x为(o中的有理数, pel(+x2)x为(+x)中的有理数 求 f (x) dx x∈(0 解设g(x)={x ,则f(x)=g(x)a.e于(0,+∞),所以 ∈(+∞) f (x dx m/8(x) dx=lim/rI dx= 3 由此可见例5.2.1的方法与定理3.3.1相结合是威力无穷的 定理5.2.11设f(x)定义在[a,b]上的有界函数,则f(x)在[a,b]上(R)可 积<=)f(x)在[a,b]上几乎处处连续。 证明此处凡未加申明的记号均与定理5.2.8证明过程中相应记号意义相(L) ∫[a,∞) fdx＝n→∞ lim (L) ∫[a,∞) f n dx ＝n→∞ lim (R) ∫[ ] a,a+n fdx＝(广义 R) ∫[a,∞) fdx,证毕. 对于瑕积分，同理可证类似的下述结果： 定理５.2.10 设 f(x)在[a,b)上定义的函数，b 为 f 的暇点，当 t∈(a,b) 时，f(x)在[a,t]上(R)可积，则 f(x)在[a,b)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,b)上(R) 瑕积分有限，且 (L) ∫[a,b) fdx＝(R 瑕) ∫[a,b) fdx 例５．2．３ 设 f(x)＝ ( ] ( ) ( ] [ ] ( ) ( )          + +∞ +∞ 为 中的有理数， 为 ，中的有理数， 为 中的无理数， 为 ，中的无理数， sin ln 1 , 1, arctan , 0 1 , 1, 1 , 0 1 1 2 2 2 e x x x x x x x x x ， 求∫( ) 0,+∞ f（x）dx＝？ 解 设 g(x)＝ ( ] ( )        ∈ +∞ ∈ , 1, 1 , 0,1 1 2 x x x x ，则 f(x)＝g(x)a.e 于（０，＋∞ ），所以 ∫( ) 0,+∞ f（x）dx＝∫( ) 0,+∞ g（x）dx＝       + ∫ ∫ →∞ 1 1 1 2 1 1 lim n n n dx x dx x ＝３。 由此可见例 5．2．１的方法与定理３．３．１相结合是威力无穷的． 定理 5.2.11 设 f(x)定义在[a,b]上的有界函数，则 f(x)在[a,b]上(R) 可 积<＝>f(x)在[a,b]上几乎处处连续。 证明 此处凡未加申明的记号均与定理 5.2.8 证明过程中相应记号意义相 同