16 ≠0,1<x。令(x)=xl(1--),注意到x→+o时o(x)→>-t,故只须证 q(x)≥0。(x)=hx-1)-hx+,对hu在[x-t,x](0<t<x) 或[x,x-t](t<0)上应用 Lagrange定理,p'(x)=x、tz0,(分别对 x-t 0<t<x,t<0讨论)。 7、证明:C-C<"+e a≠ 证:当a<b时,不等式可变形为2(e°-e)-(a-be°+e)>0,设 f(x)=2(e“-e)-(a-x)e+e)a≤x≤b,则f(a)=0,故只须证∫(x)>0 (通过设置变量使问题动态化,把问题化为函数形态的讨论) 8、证明:当x>0时xy≤xhx+e 证:将不等式变形为hx+-≥y。故只须证∫(x)=hx+在e处取到最 小值。这只要考察∫'(x)的符号即可。 9、设f(x)在[a,bn次可微,f(a)=f(b)=0,k=0,1,,n-1 证:彐c∈(ab)使/(o)2(b-a)y I(b)f(a) 证:这是函数与其高阶导数之间的关系,宜用 Taylor公式讨论之。分别将f(x)在点 a,b处展开成 Taylor公式得到f(x)=f(a)+-f"(a)x-a)”,及 f(x)=f(b)+-∫"(bX(x-b)。为使等式中出现因子b-a,可令x÷b+a,则有 )=f(a)+ 2"nl(m)(ab-a)", f(b+a )=f(b)+ 2"ml/)(nb16 t  0,t  x 。 令 (x) = ln(1 ) x t x − ，注意到 x → +时(x) → −t ， 故只须证 (x)  0。 x t t x x t x − ( ) = ln( − ) − ln + ,对 ln u 在［ｘ－ｔ，ｘ］（０＜ｔ＜ｘ ） 或［ｘ，ｘ－ｔ］（ｔ＜０） 上应用 Lagrange 定理， ( )  0 − + −  = x t t t x   ，（分别对 0＜ｔ＜ｘ，ｔ＜０讨论）。 7、证明： ( ) 2 a b e e a b e e a b a b  +  − − 证：当ａ＜ｂ时，不等式可变形为 2( − ) − ( − )( + )  0 a b a b e e a b e e ，设 f（x）= 2(e − e ) − (a − x)(e + e ) a  x  b , f (a) = 0 a x a x 则 ，故只须证 f (x)  0 。 （通过设置变量使问题动态化，把问题化为函数形态的讨论） 8、证明：当ｘ＞０时 1 ln −  + y xy x x e 。 证：将不等式变形为 1 1 1 ln ( ) ln − − − +  = + y y y e x e y f x x x e x 。故只须证 在 处取到最 小值。这只要考察 f (x) 的符号即可。 9、设 f（x）在[a，b] n 次可微， ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f a = f b = k k ，k = 0，1，．．．，ｎ－１。求 证： ( ) ( ) ( ) 2 ! ( , ) ( ) 1 ( ) f b f a b a n c a b f c n n n − −    − 使 。 证：这是函数与其高阶导数之间的关系，宜用 Taylor 公式讨论之。分别将 f（x）在点 a，b 处展开成 Taylor 公式得到 n a n f x a n f x f a ( )( ) ! 1 ( ) ( ) ( ) = +  − ，及 ( )( ) ! 1 ( ) ( ) ( ) f x b n f x f b b n = +  − 。为使等式中出现因子ｂ－ａ，可令ｘ＝ 2 b + a ，则有 f（ 2 b + a ）= n n n f b a n f a ( )( ) 2 ! 1 ( ) ( ) +  − ，f（ 2 b + a ）= n n n f b a n f b ( )( ) 2 ! 1 ( ) ( ) +  −