§3级数的收敛性 主要知识点:级数及其敛散性概念 正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法 交错级数的 Leibnitz判别法, Leibnitz型级数余项的性质。 般项级数收敛性的Abel、 Dilichlet判别法 1、设lm(nma)=1,试判断∑an的敛散性 解: 一,由此即知级数收敛 设a=p的O,讨论∑a的收敛性。 解:an=(1 pInn In(+t=t o(t),所以 e e 由此即知 p>1时级数收敛,0<P≤1时级数发散。 3、若正项级数∑a收敛,且e=an+e,则∑bn收敛。 解:bn=ln( In[l o(a-a,] 所以∑b收敛 4、设0<x<丌,xm=Sinx,,讨论∑x的敛散性。 解易知-V(参见51x与同阶因此P>2时∑收敛,P≤2 时∑b发散 5、讨论级数 (p>0)的敛散性。 解:设 b +(-1))° Vh),则:0<2时S条件收敛, ∑b绝对收敛。并且 c=a ( (-1)"pp(P+1)§3 级数的收敛性 主要知识点：级数及其敛散性概念； 正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法。 交错级数的 Leibunitz 判别法，Leibunitz 型级数余项的性质。 一般项级数收敛性的 Abel 、Dilichlet 判别法。 1、 设 1 2 sin lim( ) 1 n n n n n a →  = ，试判断 1 n n a  =  的敛散性。 解： 2 sin 1 3 3 2 2 4 1 1 1 n n n a n n n   = ，由此即知级数收敛。 2、 设 ln (1 ) ( 0) , n n p n a p n = −  讨论 n a 的收敛性。 解： ln 2 ln(1 ) 2 ln (1 ) , ln(1 ) ( ) 2 p n n n n n p n t a e t t t n − = − = + = − + ，所以 2 2 2 2 2 ln ln ln 1 [ ( ) ] ( ) 2 ln ln p n p n n n n n n p n p n p n n a e e e e n − −  + − − − = =  = ，由此即知 p p    1 0 1 时级数收敛， 时级数发散。 3、 若正项级数 n n n a a b n n n a e a e b +   收敛，且 ，则 收敛 = + 。 解： ln( ) ln[1 ( ) ] n a n n n n n n n n b e a a a a a a a = − − = + + − − − ，所以 n b 收敛。 4、 设 1 1 0 , sin n n   = x x x  + ，讨论 1 p n n x  =  的敛散性。 解：易知 3 n x n （参见§1.1）， 2 p 1 n p x n 与 同阶 ，因此 p  2 时 n b 收敛，p  2 时 n b 发散。 5、 讨论级数 1 1 2 ( 1) ( 0) ( ( 1) ) n n p n p n  + + = −  + −  的敛散性。 解： 1 1 1 ( 1) ( 1) , , 0 2 ( ( 1) ) ( ) n n n n n n p p a b p b n n + + + − − = =   + − 设 则： 时 条件收敛，  2 n p b  时 绝对收敛。  并且 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 [(1 ) 1] [1 ( ) 1] ( ) ( ) 2 n n n n p n n n p p p p p c a b n n n n n n + + + − − − − + − = − = + − = + − + −