第四章重积分 46-1含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式,在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质,即连续性、可微性与可积性 引例椭园曲线 0≤t<2x,a>b的弧长为 y=bsin t sin-i+b- cost dT sin t at; √1+E2sn2rdr; v b 虽然积分V1+E2sn2rdr,在E≠1时,不能表成初等形式,但确定了 个E的函数,这个积分称为含参变量E的积分,其一般定义为 含参积分定义设f(xy)在矩形域D={x,y)a≤x≤bc≤y≤d} 上连续,则对任意的y∈[]积分(xy存在,并确定了y的 个函数,记作(y)=f(x,y)dk,称为含参变量y的积分 注:含参变量积分大多是不能用初等函数表示,因此,含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便,记D={x,y)≤x≤bC≤y≤d为[a[d 46-2函数的一致连续性 函数y=f(x)在x0∈(a,b)点连续的定义义是 vE>0,彐(E,x0)>0,使当{x-x<d时|f(x)-f(x0)<E 一般说来,δ的选取不仅与E有关,而且与x0有关 例f(x)=一在(0,1)内连续,设x0∈(a,b),VE>0,要使 f(x)-f(x0=-<6 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 2 4-6-1 含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式, 在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。 ⚫ 引例 椭园曲线 , 0 2 sin cos      = = t y b t x a t , a  b 的弧长为:  = +     2 0 2 2 2 2 L a sin b cos d =          − +    2 0 2 2 2 2 1 sin d b a b b ; 令 2 2 2 b a − b  = , ( )  = +      2 0 2 2 f 1 sin d ; 虽然积分  +     2 0 2 2 1 sin d ，在  1 时, 不能表成初等形式, 但确定了一 个  的函数, 这个积分称为含参变量  的积分, 其一般定义为 ⚫ 含参积分定义 设 f (x, y) 在矩形域 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 上连续, 则对任意的 yc,d, 积分  b a f (x, y)dx 存在, 并确定了 y 的 一个函数, 记作  = b a I( y) f (x, y)dx , 称为含参变量 y 的积分。 注: 含参变量积分大多是不能用初等函数表示, 因此, 含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便，记 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 为 a,bc,d. 4-6-2 函数的一致连续性 ⚫ 函数 y = f (x) 在 x0 (a,b) 点连续的定义义是:   0,  (, x0 )  0, 使当 x − x0   时 f (x) − f (x0 )   . 一般说来,  的选取不仅与  有关, 而且与 x 0 有关。 例 f x x ( ) = 1 在(0, 1)内连续, 设 x0 (a,b),   0 , 要使 f x f x x x ( ) − ( 0 ) = −  0 1 1 