故知Cou(X)≥0. ▣ 定理7.2.3设A为m×n阵，Xmx1为随机向量，Y=AX,则Cou(Y)=ACow(X)A'. 证明： Cov(Y)=E[(AX-AEX)(AX-AEX)] =AE[(X-EX)(X-EX)门A' ACov(X)A'. 口 定理7.2.4设X和Y分别为n×1维和m×1维的随机向量，Apxn和B,×m为常数阵， Cov(AX,BY)=ACou(X,Y)B'. 证明：从定义出发。 口 二、随机向量的二次型 定义7.2.2设Xnx1=(X1,X2,…,Xn/为n×1维随机向量，A=(a)为n×n对称阵，则 =1 称为随机向量X的二次型。 如何求二次型的均值、方差，我们有下述定理： 定理7.2.5设随机向量Xnx1有E(X)=4nx1,Co(X)=2nxn,则 E(X'AX)='Aμ+tr(A). 证明： X'AX=[X-m)+'A[(X-四)+4 =(X-)'A(X-）+2A(X-）)+'A, 由于EA(X-]='AE(X-)=0,故有 E(X'AX)=E[(X-)}'A(X-]+μ'A4 =E[tr(A(X-)(X-))]+A4 =trAE[(X-(X-)门]+μ'A4 tr[ACou(X)]+u'Au tr(AE)+'Au. 特别： (1)当4=0时，E(X'AX)=trA∑： (2)当∑=σ2I时，E(XAX)=4Aμ+o2trA: (3)当4=0，∑=I时，E(XAX)=trA. 例7.2.1设随机变量X为一维总体，E(X)=4,Var(X)=D(X)=o2,X1,X2,…,Xn为 从此总体中抽取的样本，求E(5,其中S3=n二(X-X 5Cov(X) ≥ 0. ½n7.2.3 Aèm × n ßXn×1 èëÅï˛ßY = AXßKCov(Y ) = ACov(X)A0 . y²µ Cov(Y ) = E[(AX − AEX)(AX − AEX) 0 ] = AE[(X − EX)(X − EX) 0 ]A 0 = ACov(X)A 0 . ½n7.2.4  X ⁄ Y ©Oè n × 1 ë⁄ m × 1 ëëÅï˛ßAp×n ⁄ Bq×m è~Í ß K Cov(AX, BY ) = ACov(X, Y )B0 . y²µl½¬—u" !ëÅï˛g. ½¬7.2.2 Xn×1 = (X1, X2, · · · , Xn) 0 èn × 1ëëÅï˛ßA = (aij )èn × nÈ° ßK X0AX = Xn i=1 Xn j=1 aijXiXj °èëÅï˛X g." X¤¶g.˛ä!ê, ·Çke„½nµ ½n7.2.5 ëÅï˛Xn×1 kE(X) = µn×1, Cov(X) = Σn×nßK E(X0AX) = µ 0Aµ + tr(AΣ). y²µ X0AX = [(X − µ) + µ] 0A[(X − µ) + µ] = (X − µ) 0A(X − µ) + 2µ 0A(X − µ) + µ 0Aµ, duE[µ 0A(X − µ)] = µ 0AE(X − µ) = 0, k E(X0AX) = E[(X − µ) 0A(X − µ)] + µ 0Aµ = E tr￾ A(X − µ)(X − µ) 0
+ µ 0Aµ = trAE[(X − µ)(X − µ) 0 ] + µ 0Aµ = tr[ACov(X)] + µ 0Aµ = tr(AΣ) + µ 0Aµ. AOµ (1) µ = 0ûßE(X0AX) = trAΣ¶ (2) Σ = σ 2 I ûßE(X0AX) = µ 0Aµ + σ 2 trA¶ (3) µ = 0, Σ = I ûßE(X0AX) = trA. ~7.2.1 ëÅC˛X èòëoNßE(X) = µ, V ar(X) = D(X) = σ 2 , X1, X2, · · · , Xn è ldoN•ƒ߶E(S 2 )ߟ•S 2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X) 2 . 5