$2 Matrix Factorization-Matrix Form of GE 定理若4的所有顺序主子式eng principal submatrices+均不为0,则A的LU分解唯—(其 中L为单位下三角阵)。 证明:由§1中定理可知,LU分解存在。下面证明唯一性。 若不唯一,则可设A=L1U1=L2U2,推出 L L2 U2U2=LL2=/ Lower-triangular Upper-triangular With diagonal entries 1 注:L为一般下三角阵而U为单位上三角阵的分解称为 Crout分解。 实际上只要考虑A*的LU分解,即4=LU,则 A=U*即是A的 Crout分解。§2 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E. 定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则 A 的 LU 分解唯一（其 中 L 为单位下三角阵）。 证明：由§1中定理可知，LU 分解存在。下面证明唯一性。 若不唯一，则可设 A = L1U1 = L2U2 ，推出 = −1 U1 U2 2 1 1 1 2 2 2 1 L1 L U U L L − − − = Upper-triangular Lower-triangular With diagonal entries 1 = I ✓ 注： L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为 Crout 分解。 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解，即 ，则 即是 A 的 Crout 分解。 A LU ~ ~ * = * ~ * ~ A=U L