第4期 孙富春，等：SIS0 Mamdani模糊系统作为函数逼近器的必要条件 ·291· 验证 内存在划分点.证毕。 对模糊系统输出F(x)的每个单调区间[a, 定理1说明当目标函数在一点的函数值比其2 α.]，不妨假设是单调递增的，根据扇区非线性设计 个临近点的函数值同时大或者小2倍精度时，模糊 2条模糊规则： 系统在这一点附近必须具有划分点才能实现逼近精 F(a.）-F(x) 度.但是定理1还存在一定的局限性，因为要比较连 (）=Fa)-Fai=F(a,),() 续函数任意3点的函数值关系是不可能的.为此，引 F(x)-F(a,) ()）=F武a)-Fa=F(a,） (8) 入如下引理解决此问题，它确保了只使用很有限的 信息就足够刻画连续函数. 即可使模糊系统的输出为期望输出. 引理3连续实函数f(x)在区间[T1,T2]CU 根据引理2，可得到以下结论： 上具有如下2个等价关系 定理1假设式(3)定义的模糊系统F(x)在输 1)存在T1≤x1<x2<x3≤T2,使得 入域U上能以给定精度ε逼近期望函数(x).如果 f(x1)-fx2)>2e,fx2）-f八3）<-28， 存在x1<x2<3∈U,使得f(x1)-f(x)>28, 或者 fx2)-fx3)<-2e,或者f(x1)-f(x2)<-2e, f(x1)-fx2)<-2e,f(x2)-fx)>2e; f八x2)-八3)>2e,那么模糊系统在[x1,3]内存在划 2)存在T1≤5：<52<53≤T2(5:是f八x)在[T1, 分点 T2]上的极点)，使得 证明为了不失一般性，假设存在x1<x2< f(5)-f52)>2ef(52)-f5)<-2e, x3∈U使得 或者 f(x)-fx2）>2e, f(51)-f52)<-2ef(52)-f53)>2e. f八x2)-fx3)<-28. (9) 证明2)→1)显然成立.仅需证明1)2)： 首先使用反证法证明：在[x1,x2]上存在子区间 不妨假设存在T1≤x<x2≤T2,使得 [x,x2]使得模糊系统的输出F(x)单调递减。 f八x1)-f八x2)>2e, 假设使模糊系统输出F(x)单调递减的子区间 f(x2)-fx3)<-2e. (15) [x1,x2]不存在，那么F(x)在区间[x1,2]上单调 首先找到f(x)定义域中包含x2点的单调区间 递增，故可得 [B2,B],B:是极点.不失一般性，假设f(x)在[B2, F(x)≤F(2). (10) B]上严格单调递增.由x2在[B2,B]内，知 根据定理的假设前提：模糊系统F(x)能以给定 fB2)≤fx2). (16) 精度ε逼近目标函数，知 如果B2≤x1,则由x1也在单调区间知f(x1)≤ -E≤f(x)-F(x1)≤e, (11) f八x2),与f(x1)-f(x2)>2ε相矛盾.因此，可得 -E≤f(x2)-F(x2)≤B (12) x1<B2≤x2<x3 (17) 将式(12)减式(11)得 结合式(17)，得： fx)-f2)≤2e+F(x1)-F(x2).(13) f1)-fB2)>2e, 然后，将式(13)减去式(10)，得 fB2）-f(x3)<2e (18) f(x1)-f代x2)≤2e (14) 令专2=B2,同理可得专1和专3.证毕。 由于式(14)与式(9)相矛盾，故在[x1,x2]上存 根据引理3的等价条件，定理1可重写如下： 在子区间[x1,x2],使得模糊系统的输出F(x)单调 定理2假设式(3)定义的模糊系统F(x)在输 递减. 入域U上能以给定精度ε逼近期望函数f(x).如果 同理可证在[x2,x3]上存在子区间[x2,x3],使 存在专1<2<53∈U(5:是期望函数的极点)，使得 得模糊系统的输出F(x)单调递增。 f(51)-f(52)>2e, 综上所述，在区间[x1,x3]上存在2个子区间 f八52)-f八53)>-2e, [x1,xa]和[x2,x3]分别使得模糊系统的输出F(x) 或者 单调递减和递增.根据引理2，模糊系统在划分子区 f八5)-f八52)<-2e, 间单调.因此，模糊系统为实现逼近精度，在[x1,x3] f(52)-f53)>28