第一学期第十次课 252可逆矩阵,方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义 定义设A是属于K上的一个n阶方阵,如果存在属于K上的n阶方阵B,使 BA=AB=E 则称B是A的一个逆矩阵,此时A称为可逆矩阵 2、群和环的定义 定义设A是一个非空集合。任意一个由A×A到A的映射就成为定义在A上的代数 运算 定义设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算(二元运算),称为乘法, 记作a*b,而且它适合以下条件,那么<G.*>就成为一个群 1、乘法满足结合律 对于G中的任意元素ab,c有(a*b)*C=a*(b*C) 2、存在单位元素e∈G,对于任意a∈G,满足e*a=a; 3、对于任意a∈G,存在b∈G,使得b*a=e。 关于群的性质,我们有如下命题: 命题对于任意a∈G,同样有a*b=e 证明对于b,存在C∈G,使得cb=e, 两端右乘b,得到 命题对于任意a∈G,同样有a*e=a 证明a=e*a=(a*b)*a=a*(b*a)=a*e 命题单位元素唯 证明假设存在e,e'∈G,均是单位元素,则e=e'e=e 命题对于任意a∈G,存在唯一b∈G,使得a*b=b*a=e,于是元素b就称为a 的逆元素,记为a-1。 证明设存在b,c∈G,满足条件,则 b=e*b=(c*a*b=c(a*b=cse=c 易知,(a)=a 命题对于G中的任意元素ab,方程a*x=b有唯一解。 定义一个群G称为一个交换群( Abelian Group),若定义在上面的代数运算*满足交 换律,即对于任意a,b∈G,都有a*b=b*a。第一学期第十次课 2.5.2 可逆矩阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义 定义 设 A 是属于 K 上的一个 n 阶方阵，如果存在属于 K 上的 n 阶方阵 B，使 BA AB E = = ， 则称 B 是 A 的一个逆矩阵，此时 A 称为可逆矩阵。 2、群和环的定义 定义 设 A 是一个非空集合。任意一个由 A A  到 A 的映射就成为定义在 A 上的代数 运算。 定义 设 G 是一个非空集合。如果在 G 上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法， 记作 a b ，而且它适合以下条件，那么    G, 就成为一个群： 1、 乘法满足结合律 对于 G 中的任意元素 a,b,c 有 ( ) ( ) a b c a b c   =   ； 2、 存在单位元素 e G ，对于任意 a G ，满足 e a a  = ； 3、 对于任意 a G ，存在 b G ，使得 b a e  = 。 关于群的性质，我们有如下命题： 命题 对于任意 a G ，同样有 a b e  = 证明 对于 b ，存在 c G ，使得 cb e = ， a e a c b a c b a c e =  =   =   =  ( ) ( ) ， 两端右乘 b ，得到 a b e  = 。 命题 对于任意 a G ，同样有 a e a  = 证明 a e a a b a a b a a e =  =   =   =  ( ) ( ) 。 命题 单位元素唯一 证明 假设存在 e e G , ' ，均是单位元素，则 e e e e = = ' ' 。 命题 对于任意 a G ，存在唯一 b G ，使得 a b b a e  =  = ，于是元素 b 就称为 a 的逆元素，记为 1 a − 。 证明 设存在 b c G ,  ，满足条件，则 b e b c a b c a b c e c =  =   =   =  = ( ) ( ) 。 易知， 1 1 ( ) a a − − = 。 命题 对于 G 中的任意元素 a,b，方程 a x b  = 有唯一解。 定义 一个群 G 称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算  满足交 换律，即对于任意 a b G ,  ，都有 a b b a  = 