94 高等数学重点难点100讲 第30讲微分中值定狸(1) 第30讲至第32讲集中讨论微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西 中值定理.这些定理都显示了函数在一定条件下与区间内某点的导数之间的密切关系.这些 定理是微分学的理论基础,由它们可以导出一系列的重要命题和定理,从而使得微分学在更 广的范围内起着极其重要的作用 、利用罗尔中值定理证明方程根的存在性 1直接法 如果函数∫(x)本身就已具备定理的三个条件,我们可以直接使用定理进行证明 例1已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),不求f(x)的导数,试证f(x) 0有三个实根,并指出它们所在的区间 证f(x)是一个四次多项式,在以它的任何两个相邻零点(f(x)=0的根)为端点的 区间上,满足罗尔定理的条件,故在这个区间内至少有一点,使得f()=0,即至少存在 尸(x)=0的一个根.∫(x)=0是三次方程,最多有三个实根.由以上分析证明如下: f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0,∴x=1,2,3,4是∫(x)的四个零点 又在[1,2]上f(x)满足罗尔定理的条件,故在(1,2)内至少存在一点,使f()=0,即至 少存在f(x)=0的一个实根. 同理,在(2,3)、(3,4)内各至少存在f(x)=0的一个实根.由此推知f(x)=0至少有 三个实根 又因f(x)=0是一元三次方程,至多有三个实根故方程f(x)=0有且仅有三个实 根,它们分别位于(1,2),(2,3),(3,4)三个区间内 例2已知f(x)在a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0,F(x)=(x-a)f(x).试证 方程F"(x)=0在(a,b)内有根 证∵f(a)=f(b)=0,∴F(a)=F(b)=0 又因为f(x)在[a,b]上二阶可导,所以F(x)在[a,b]上二阶可导 由罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点7,使F()=0,又因为F(x)=2(x-a)f(x) +(x-a)2f(x),所以F(a)=0. 对函数F(x)在[a,刀上使用罗尔定理,得知至少有∈(a,7)C(ab),使F"()=0 即F"(x)=0在(a,b)内至少有一个根 例3设函数f(x)在[ab上连续,(x)在(a,b)内存在,且f(a)<0,f(c)>0,f(b) <0(a<c<b).试证方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根 证从形式上看结果f(G)=0,应用罗尔定理,但定理的条件(3)还不满足我们首先 从条件“f(a)<0,f(c)>0,f(b)<0”推出罗尔定理的条件(3) 由于f(x)在[a,c和[c,b上连续,分别在[a,c],[,b上利用零点定理,由f(a)f(c) <0,f(c)f(b)<0,故存在∈(a,c),使f(61)=0,存在2∈(c,b),使f(2)=0.考虑[ 52],f(x)在[61,2]上连续,可导,且f(句1)=f(2),罗尔定理条件成立,所以存在∈(1 2)c(a,b),使户()=0. 2.反证法 例4设多项式的导函数P(x)无零点,试证多项式P(x)最多只有一个零点